Cho hàm số $y=f(x)=\dfrac{-2x^2-3x+1}{-x-3}$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Hàm số $y=f(x)$ có tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{3\right\}$.

Bài toán gốc

Câu 21. Cho hàm số $y=f(x)=\dfrac{-2x^2-3x+1}{-x-3}$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Hàm số $y=f(x)$ có tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{3\right\}$.

b) $y^{\prime}=\dfrac{2x^2+12x+10}{(-x-3)^2}$.

c) Hàm số $y=f(x)$ có tổng các giá trị cực trị bằng $-18$.

d) Hàm số $y=f(2x+12)$ có tổng giá trị cực đại và cực tiểu bằng $-18$.

Lời giải: $y^{\prime}=\dfrac{2x^2+12x+10}{(-x-3)^2}$.
$y^{\prime}=0\Leftrightarrow x_1=-5,x_2=-1$.

(Sai) Hàm số $y=f(x)$ có tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{3\right\}$.
(Vì): $-x-3\neq 0\Leftrightarrow x\neq -3$ nên $D=\mathbb{R}\backslash \left\{-3\right\}$.
(Đúng) $y^{\prime}=\dfrac{2x^2+12x+10}{(-x-3)^2}$.
(Đúng) Hàm số $y=f(x)$ có tổng các giá trị cực trị bằng $-18$.
(Vì): Tổng các cực trị của hàm số bằng $-17-1=-18$.
(Đúng) Hàm số $y=f(2x+12)$ có tổng giá trị cực đại và cực tiểu bằng $-18$.
(Vì): $-17-1=-18$.
Hàm số $y=f(x)$ và hàm số $y=f(ax+b)$ có cùng số điểm cực trị, cùng số điểm cực đại, cùng số điểm cực tiểu. Biến điểm cực đại thành điểm cực đại, biến điểm cực tiểu thành điểm cực tiểu. Có giá trị cực đại bằng nhau và giá trị cực tiểu bằng nhau tương ứng.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Phân tích và Phương pháp giải

Bài toán yêu cầu khảo sát các tính chất cơ bản của hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất $y=f(x)=\dfrac{Ax^2+Bx+C}{Dx+E}$, bao gồm tập xác định, tính đạo hàm, tìm cực trị, và áp dụng kiến thức về giá trị cực trị của hàm hợp $y=f(ax+b)$.

Phương pháp giải:
1. Tập xác định: Mẫu số khác 0.
2. Đạo hàm: Sử dụng quy tắc đạo hàm của thương $(u/v)’ = (u’v – uv’) / v^2$.
3. Cực trị: Giải phương trình $y’=0$ để tìm hoành độ cực trị, sau đó thay vào hàm số $f(x)$ để tìm giá trị cực trị.
4. Hàm hợp: Giá trị cực trị (cực đại, cực tiểu) của hàm số $y=f(ax+b)$ luôn bằng giá trị cực trị tương ứng của hàm số $y=f(x)$.

Bài toán tương tự

Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x^2 – 5x + 7}{x – 3}$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Hàm số có tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{3\right\}$.
b) Đạo hàm của hàm số là $f'(x) = \dfrac{x^2 – 6x + 8}{(x – 3)^2}$.
c) Hàm số $y=f(x)$ có tổng các giá trị cực trị bằng $2$.
d) Hàm số $y=f(3x-1)$ có tổng giá trị cực đại và cực tiểu bằng $2$.

Đáp án và Lời giải ngắn gọn:

1. Tập xác định: $x-3 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 3$. (a) Đúng.
2. Đạo hàm: $f'(x) = \dfrac{(2x-5)(x-3) – (x^2-5x+7)(1)}{(x-3)^2} = \dfrac{x^2 – 6x + 8}{(x – 3)^2}$. (b) Đúng.
3. Cực trị: $f'(x)=0 \Leftrightarrow x^2 – 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=4$.
$f(2) = \dfrac{2^2 – 5(2) + 7}{2 – 3} = -1$ (Cực đại).
$f(4) = \dfrac{4^2 – 5(4) + 7}{4 – 3} = 3$ (Cực tiểu).
Tổng giá trị cực trị: $-1 + 3 = 2$. (c) Đúng.
4. Hàm hợp: Giá trị cực trị của $f(3x-1)$ bằng giá trị cực trị của $f(x)$. Tổng giá trị cực trị bằng $2$. (d) Đúng.