Cho hàm số $y=f(x)=-2x^3+24x+2$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Hàm số $y=f(x)$ có tập xác định $D=(0;+\infty)$.

Bài toán gốc

Câu 14. Cho hàm số $y=f(x)=-2x^3+24x+2$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Hàm số $y=f(x)$ có tập xác định $D=(0;+\infty)$. b) $y^{\prime}=-6x^2+24$.

c) Giá trị cực tiểu hàm số bằng $-30$. d) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=2$.

Lời giải: $y^{\prime}=-6x^2+24$
$y^{\prime}=0\Leftrightarrow x_1=-2,x_2=2$.

(Sai) Hàm số $y=f(x)$ có tập xác định $D=(0;+\infty)$.
(Vì): $D=\mathbb{R}$
(Đúng) $y^{\prime}=-6x^2+24$.
(Đúng) Giá trị cực tiểu hàm số bằng $-30$.
(Sai) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=2$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán khảo sát hàm số đa thức bậc ba. Phương pháp giải bao gồm: 1. Xác định tập xác định (luôn là D=R đối với hàm đa thức). 2. Tính đạo hàm bậc nhất y’ để tìm các điểm cực trị (nghiệm của y’=0). 3. Lập bảng biến thiên hoặc sử dụng quy tắc dấu của đạo hàm để xác định tính chất của cực trị (cực đại hay cực tiểu) và tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị đó.

Bài toán tương tự

Cho hàm số $y=f(x)=x^3-3x^2+5$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:
A) Hàm số $y=f(x)$ có tập xác định $D=(-\&infty;+\&infty)$.
B) $y^{\prime}=3x^2-6x$.
C) Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 5.
D) Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=0$.

Đáp án và Lời giải ngắn gọn:
1. Tính đạo hàm: $y^{\prime}=3x^2-6x$.
2. Tìm cực trị: $y^{\prime}=0 \Leftrightarrow 3x(x-2)=0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$.
3. Bảng biến thiên (hoặc kiểm tra dấu y’):
– $x=0$ là điểm cực đại, $y_{CĐ} = f(0) = 5$.
– $x=2$ là điểm cực tiểu, $y_{CT} = f(2) = 2^3 – 3(2^2) + 5 = 8 – 12 + 5 = 1$.

Xét các phát biểu:
A) Đúng, $D=\mathbb{R}$.
B) Đúng, $y^{\prime}=3x^2-6x$.
C) Sai, Giá trị cực tiểu hàm số bằng 1.
D) Đúng, Hàm số đạt cực đại tại $x=0$.