Cho hàm số $y=f(x)=2x^3-6x^2-18x-2$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Hàm số $y=f(x)$ có tập xác định $D=(0;+\infty)$.

Bài toán gốc

Câu 16. Cho hàm số $y=f(x)=2x^3-6x^2-18x-2$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Hàm số $y=f(x)$ có tập xác định $D=(0;+\infty)$.

b) $y^{\prime}=6x^2-8x-18$.

c) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=3$.

d) Hàm số $y=f(-x-1)$ đạt cực đại tại điểm $x=-4$.

Lời giải: $y^{\prime}=6x^2-12x-18$
$y^{\prime}=0\Leftrightarrow x_1=-1,x_2=3$.

(Sai) Hàm số $y=f(x)$ có tập xác định $D=(0;+\infty)$.
(Vì): $D=\mathbb{R}$
(Sai) $y^{\prime}=6x^2-8x-18$.
(Đúng) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=3$.
(Sai) Hàm số $y=f(-x-1)$ đạt cực đại tại điểm $x=-4$.
(Vì): $f^{\prime}(-x-1)=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l} -x-1=-1\text{ (CĐ) }\\ -x-1=3\text{ (CT)} \end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=0\text{ (CĐ) } \\ x=-4\text{ (CT) } \end{array}\right.$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tổng hợp về khảo sát hàm số đa thức bậc ba, bao gồm việc xác định tập xác định, tính toán đạo hàm, tìm các điểm cực trị của hàm số gốc $f(x)$, và áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp (chain rule) để xác định cực trị của hàm số biến đổi $f(ax+b)$. Phương pháp giải chính là tính đạo hàm $f'(x)$, tìm nghiệm của $f'(x)=0$, và lập bảng biến thiên để xác định loại cực trị. Đối với hàm hợp $h(x)=f(g(x))$, ta tính $h'(x) = f'(g(x)) imes g'(x)$ và xét dấu. Cần chú ý rằng nếu $g'(x)<0$, loại cực trị của $h(x)$ sẽ ngược lại so với $f(x)$ tại điểm tương ứng.

Bài toán tương tự

Cho hàm số $y=f(x)=x^3+3x^2-9x+5$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:
a) Tập xác định của hàm số là $D=(-frac{1}{2};+frac{1}{2})$.
b) $f'(x)=3x^2+6x-9$.
c) Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=1$.
d) Hàm số $y=f(1-x)$ đạt cực đại tại điểm $x=0$.

Đáp án và Lời giải ngắn gọn:
Cho hàm số $f(x)=x^3+3x^2-9x+5$.
Ta có $f'(x) = 3x^2+6x-9$.
$f'(x)=0 \Leftrightarrow 3(x^2+2x-3)=0 \Leftrightarrow x=-3$ hoặc $x=1$.
Lập bảng biến thiên, ta thấy $f(x)$ đạt cực đại tại $x=-3$ và đạt cực tiểu tại $x=1$.
Xét tính đúng sai:
a) (Sai). Hàm số đa thức có tập xác định $D=\mathbb{R}$.
b) (Đúng). $f'(x)=3x^2+6x-9$.
c) (Sai). Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$.
d) (Đúng). Xét $h(x)=f(1-x)$. $h'(x)=f'(1-x) \cdot (1-x)’ = -f'(1-x)$.
$h'(x)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 1-x=-3 \text{ (CĐ của } f) \\ 1-x=1 \text{ (CT của } f) \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=4 \\ x=0 \end{array}\right.$.
Tại $x=0$, $1-x=1$ (CT của $f$).
Do $g'(x)=-1 < 0$, cực tiểu của $f$ chuyển thành cực đại của $h$. Vậy $h(x)$ đạt cực đại tại $x=0$.