[Mức độ 4] Cho hàm số bậc năm \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(y = f’\left( x \right)\) như hình vẽ dưới đây

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { – 100;100} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} – 3x + m} \right)\) có 5 điểm cực trị.

[Mức độ 4] Cho hàm số bậc năm \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(y = f’\left( x \right)\) như hình vẽ dưới đây

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { – 100;100} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} – 3x + m} \right)\) có 5 điểm cực trị.

A.\(102\).

B. \(105\).

C.\(103\).

D.\(100\).

Lời giải:

Ta có: \(g’\left( x \right) = \left( {2x – 3} \right).f’\left( {{x^2} – 3x + m} \right)\).

\(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x – 3 = 0\\f’\left( {{x^2} – 3x + m} \right) = 0\end{array} \right.{\rm{ }}\begin{array}{*{20}{c}}{\left( 1 \right)}\\{\left( 2 \right)}\end{array}\).

Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\).

Và \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} – 3x + m = 0{\rm{ }}\\{x^2} – 3x + m = 2{\rm{ }}\\{x^2} – 3x + m = a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – {x^2} + 3x\,\,\left( 1 \right)\\m – 2 = – {x^2} + 3x\,\,\left( 2 \right)\\m – a = – {x^2} + 3x\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\).

Với \({x^2} – 3x + m = 2\) thì \(g’\left( x \right) = 0\) có nghiệm kép.

Xét hàm số \(y = – {x^2} + 3x\) ta có bảng biến thiên như sau

Do \(a > 2 \Rightarrow m > m – a\), nên \(g\left( x \right)\) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình \(g’\left( x \right) = 0\) có \(5\) nghiệm đơn phân biệt, tức là mỗi phương trình (1) và (3) có hai nghiệm đơn phân biệt khác \(\frac{3}{2}\)\( \Leftrightarrow m < \frac{9}{4}\) .

Vì \(m \in \mathbb{Z}\), \(m \in \left[ { – 100;100} \right]\)\( \Rightarrow m \in \left\{ { – 100; – 99;……;2} \right\}\). Vậy có 103 giá trị nguyên của \(m \in \left[ { – 100;100} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} – 3x + m} \right)\) có 5 điểm cực trị.