Cho khối lăng trụ \(ABC\,.\,A’B’C’\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều, \(B’A = B’B = B’C = 2a\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABB’A’} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^ \circ }\), thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. \(\frac{{96\sqrt 7 {a^3}}}{{49}}\).

B. \(\frac{{72\sqrt 7 {a^3}}}{{49}}\).

C. \(\frac{{36\sqrt 7 {a^3}}}{{49}}\).

D. \(\frac{{27\sqrt 7 {a^3}}}{{49}}\).

Lời giải:

Gọi \(G\)là trọng tâm \(\Delta \,ABC\), \(M\) là trung điểm của \(AB\).

Do \(B’A = B’B = B’C = 2a\) và \(\Delta \,ABC\) đều có \(G\) là trọng tâm nên \(B’G \bot \,\left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow \) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABB’A’} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là \(\widehat {B’MG} = {60^ \circ }\).

Đặt \(AB = BC = CA = x\) với \(x > 0\).

Ta có: \(CM = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow CG = \frac{2}{3}CM = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}\) và \(MG = \frac{1}{3}CM = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}\).

Xét \(\Delta \,B’MG\) vuông tại \(G\) có: \(\tan \widehat {B’MG} = \frac{{B’G}}{{MG}} \Leftrightarrow \tan {60^ \circ } = \frac{{B’G}}{{MG}}\)

\( \Rightarrow B’G = MG.\tan {60^ \circ } = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}.\sqrt 3 = \frac{x}{2}\).

Xét \(\Delta \,B’CG\) vuông tại \(G\) có: \(B'{C^2} = B'{G^2} + G{C^2} \Leftrightarrow {\left( {2a} \right)^2} = {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{x\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 4{a^2} = \frac{{7{x^2}}}{{12}} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{48{a^2}}}{7} \Rightarrow x = \frac{{4\sqrt {21} a}}{7}\).

\(B’G = \frac{{2\sqrt {21} a}}{7}\) và \(AB = BC = CA = \frac{{4\sqrt {21} a}}{7}\) \( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = {\left( {\frac{{4\sqrt {21} a}}{7}} \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{12\sqrt 3 {a^2}}}{7}\) (đvdt).

Thể tích của khối lăng trụ đã cho là \(V = B’G\,.\,{S_{\Delta ABC}} = \frac{{2\sqrt {21} a}}{7}.\frac{{12\sqrt 3 {a^2}}}{7} = \frac{{72\sqrt 7 {a^3}}}{{49}}\) (đvtt).