Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\) là 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = {\left( {\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} } \right)^2} – 4\int\limits_2^4 {f\left( x \right)dx} \).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\) là 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = {\left( {\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} } \right)^2} – 4\int\limits_2^4 {f\left( x \right)dx} \).

A. \( – 36\).

B. \(28\).

C. \( – 32\).

D. \( – 24\).

Lời giải

Theo giả thiết ta có \(\int\limits_0^4 {\left| {f(x)} \right|dx = 8} \) và \(f\left( x \right) < 0\forall x\) \( \Rightarrow \int\limits_0^4 { – f\left( x \right)dx = 8 \Rightarrow } \int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx =  – 8} \).

\( \Rightarrow \int\limits_0^2 {f(x)dx}  + \int\limits_2^4 {f(x)dx =  – 8 \Rightarrow } \int\limits_2^4 {f(x)dx =  – 8 – \int\limits_0^2 {f(x)dx} } \).

\( \Rightarrow T = {\left( {\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} } \right)^2} – 4\int\limits_2^4 {f\left( x \right)dx}  = {\left( {\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} } \right)^2} – 4\left( { – 8 – \int\limits_0^2 {f(x)dx} } \right)\)

Đặt \(u = \int\limits_0^2 {f(x)dx}  \Rightarrow T = {u^2} + 4u + 32 = {\left( {u + 2} \right)^2} + 28 \ge 28\). Dấu “=” xảy ra khi \(u =  – 2\).

===========

Đây là các câu File: Tương tự Câu 41 ỨNG DỤNG Tích Phân – DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG – Vận dụng – Toán TK 2024