Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), \(f\left( x \right) >  – 1\), \(f\left( 0 \right) = 0\), và thỏa\(f’\left( x \right)\sqrt {{x^2} + 1}  = 2x\sqrt {f\left( x \right) + 1} \). Tính \(f\left( {\sqrt 3 } \right)\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), \(f\left( x \right) >  – 1\), \(f\left( 0 \right) = 0\), và thỏa\(f’\left( x \right)\sqrt {{x^2} + 1}  = 2x\sqrt {f\left( x \right) + 1} \). Tính \(f\left( {\sqrt 3 } \right)\).

A. 0

B. 3

C. 7.

D. 9

Lời giải

Ta có \(f’\left( x \right)\sqrt {{x^2} + 1}  = 2x\sqrt {f\left( x \right) + 1}  \Leftrightarrow \frac{{f’\left( x \right)}}{{2\sqrt {f\left( x \right) + 1} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

\( \Rightarrow \int {\frac{{f’\left( x \right)}}{{2\sqrt {f\left( x \right) + 1} }}dx}  = \int {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} dx\)\( \Rightarrow \sqrt {f\left( x \right) + 1}  = \sqrt {{x^2} + 1}  + C\)

\( \Rightarrow \sqrt {f\left( 0 \right) + 1}  = 1 + C \Rightarrow C = 0\). Vậy \(f\left( x \right) = {x^2}\), từ đó ta có \(f\left( {\sqrt 3 } \right) = 3\).

===========

Đây là các câu File: Tương tự Câu 41 ỨNG DỤNG Tích Phân – DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG – Vận dụng – Toán TK 2024