Cho hàm số \(y = f(x)\)có đạo hàm liên tục trên đoạn \({\rm{[1}};3]\) thỏa mãn \(f(1) = 4\) và \(f(x) – (x + 3)f'(x) = 2x{f^2}(x),\forall x \in [1;3]\). Giá trị của \(\int_1^3 {f(x)dx} \)bằng

Cho hàm số \(y = f(x)\)có đạo hàm liên tục trên đoạn \({\rm{[1}};3]\) thỏa mãn \(f(1) = 4\) và \(f(x) – (x + 3)f'(x) = 2x{f^2}(x),\forall x \in [1;3]\). Giá trị của \(\int_1^3 {f(x)dx} \)bằng

A. \(1 + \ln 3\).

B. \(2 – \ln 3\).

C. \(2 + \ln 3\).

D. \(1 – \ln 3\).

Lời giải

+ Xét \(f(x) \ne 0\), theo giả thiết ta có

\(f(x) – (x + 3)f'(x) = 2x{f^2}(x)\) ⇔ \(\frac{{f(x) – (x + 3)f'(x)}}{{{f^2}(x)}} = 2x\) ⇔ \({\left[ {\frac{{x + 3}}{{f\left( x \right)}}} \right]^\prime } = 2x\)

⇒ \(\frac{{x + 3}}{{f\left( x \right)}} = \int {2x{\rm{d}}x} \) ⇔ \(\frac{{x + 3}}{{f\left( x \right)}} = {x^2} + C\)(*)

+ Mà \(f(1) = 4\), thay vào (8) ta được \(\frac{{1 + 3}}{4} = {1^2} + C\) \( \Rightarrow C = 0\) ⇒ \(\frac{{x + 3}}{{f\left( x \right)}} = {x^2}\) ⇔ \(f\left( x \right) = \frac{{x + 3}}{{{x^2}}}\).

+ Xét: \(f(x) = 0\) ⇒ \(x =  – 3 \notin \left[ {0;\,2} \right] \Rightarrow \)\(f\left( x \right) \ne 0\,\forall x \in \left[ {1;\,3} \right]\). Vậy \(f\left( x \right) = \frac{{x + 3}}{{{x^2}}}\) \(\forall x \in [1;3]\).

+ \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_1^3 {\frac{{x + 3}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x}  = \int\limits_1^3 {\left( {\frac{1}{x}{\rm{ + }}\frac{3}{{{x^2}}}} \right){\rm{d}}x}  = \left. {\left( {\ln x – \frac{3}{x}} \right)} \right|_1^3 = \left( {\ln 3 – 1} \right) – \left( {\ln 1 – 3} \right) = \ln 3 + 2\).

===========

Đây là các câu File: Tương tự Câu 41 ỨNG DỤNG Tích Phân – DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG – Vận dụng – Toán TK 2024