Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = \sqrt {{{\ln }^2}x + 1} .\frac{{\ln x}}{x}\) mà \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{3}\). Giá trị \({F^2}\left( e \right)\) bằng
A. \(\frac{1}{3}\).
B. \(\frac{1}{9}\).
C. \(\frac{8}{3}\).
D. \(\frac{8}{9}\).
Lời giải:
Đặt \(I = \int {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} .\frac{{\ln x}}{x}} dx\)
\(t = \sqrt {{{\ln }^2}x + 1} \Rightarrow {t^2} = {\ln ^2}x + 1 \Rightarrow tdt = \ln x.\frac{1}{x}dx = \frac{{\ln x}}{x}dx\)
\(I = \int {{t^2}} dt = \frac{{{t^3}}}{3} + C = \frac{{{{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} } \right)}^3}}}{3} + C\)
\(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = \sqrt {{{\ln }^2}x + 1} .\frac{{\ln x}}{x}\) nên \(F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} } \right)}^3}}}{3} + C\)
Theo giả thiết
\(F\left( 1 \right) = \frac{1}{3} \Rightarrow C = 0 \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} } \right)}^3}}}{3}\)
\({F^2}\left( e \right) = \frac{8}{9}\)
===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HAM – TICH PHÂN – ỨNG DỤNG.
Trả lời