(Chuyên Lam Sơn 2022) Cho khối bát diện đều có cạnh \(a\). Gọi \(M,N,P,Q\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(SAB,SBC,SCD,SDA;\) gọi \(M\prime ,N\prime ,P\prime ,Q\prime \) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(S\prime AB,S\prime BC,S\prime CD,S\prime DA\) (như hình vẽ dưới).

Thể tích của khối lăng trụ \(MNPQ \cdot M\prime N\prime P\prime Q\prime \) là

(Chuyên Lam Sơn 2022) Cho khối bát diện đều có cạnh \(a\). Gọi \(M,N,P,Q\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(SAB,SBC,SCD,SDA;\) gọi \(M\prime ,N\prime ,P\prime ,Q\prime \) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(S\prime AB,S\prime BC,S\prime CD,S\prime DA\) (như hình vẽ dưới).

Thể tích của khối lăng trụ \(MNPQ \cdot M\prime N\prime P\prime Q\prime \) là

A. \(\frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{72}}\).

B. \(\frac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{{81}}\).

C. \(\frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{24}}\).

D. \(\frac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{{27}}\).

Lời giải:

Gọi \(O = AC \cap BD;I,J\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC\).

Do \(M,N\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(SAB,SBC\) nên ta có \(MN = \frac{2}{3}JJ = \frac{1}{3}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\) Do \(SABCDS\prime \) là bát diện đều nên hoàn toàn tương tự ta có tất cả các cạnh còn lại của của khối lăng trụ \(MNPQ \cdot M\prime N\prime P\prime Q\prime \) cũng bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{3}\).

Mặt khác \(AC \bot BD\), mà \(MN//AC//PQ,MQ//BD//NP\) nên \(MNPQ\) là hình vuông. Tương tự ta có tất cả các mặt còn lại của lăng trụ \(MNPQ \cdot M\prime N\prime P\prime Q\prime \) cũng là hình vuông. Suy ra lăng trụ \(MNPQ.M\prime N\prime P\prime Q\prime \) là hình lập phương có cạnh bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{3}\).

Vậy \({V_{MNPQMNP\prime Q\prime }} = {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{3}} \right)^3} = \frac{{2{a^3}\sqrt 2 }}{{27}}\).