(THPT Hồ Nghinh – Quảng Nam – 2022) Cho khối hộp chữ nhật \(ABCD \cdot A\prime B\prime C\prime D\prime \). Khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(AB,CB\prime \) bằng \(\frac{2}{{\sqrt 5 }}a\), khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(A\prime D\prime ,B\prime A\) bằng \(\frac{2}{{\sqrt 5 }}a\). Khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(BD\prime \), \(AC\) bằng \(\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 6 }}a\). Tính thể tích khối hộp chữ nhật đã cho.

A. \({a^3}\).

B. \(\frac{{{a^3}}}{2}\).

C. \(2{a^3}\).

D. \(\sqrt 2 {a^3}\).

Lời giải:

Chọn C

Giải sử các kích thức của hình hộp chữ nhật là \(AB = x,AD = y,AA = z\) với \(x,y,z > 0\).

+) Khoảng cảch giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(B\prime C\) bằng \(\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB//CD}\\{CD \subset \left( {A\prime B\prime CD} \right) \Rightarrow AB//\left( {A\prime B\prime CD} \right) \Rightarrow d\left( {AB;B\prime C} \right) = d\left( {AB;\left( {A\prime B\prime CD} \right)} \right)}\\{AB\not \subset \left( {A\prime B\prime CD} \right)}\end{array}} \right.\)

\( = d\left( {A,\left( {A\prime B\prime CD} \right)} \right) = AH = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\), với \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(A\prime D\).

Từ \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{A^{\prime 2}}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}}\)(1)

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A\prime D\prime \) và \(AB\prime \) bằng \(\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

Tương tự, ta chứng minh được \(A\prime D\prime //\left( {AB\prime C\prime D} \right) \Rightarrow d\left( {A\prime D\prime ;AB\prime } \right) = d\left( {A\prime D\prime ,\left( {AB\prime C\prime D} \right)} \right)\) \( = A\prime K = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\) với \(K\) là hình chiếu của \(A\prime \) trên \(AB\prime \).

Từ \(\frac{1}{{A\prime {K^2}}} = \frac{1}{{A\prime {A^2}}} + \frac{1}{{A\prime {B^{\prime 2}}}} \Rightarrow \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}}\)(2)

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\prime \) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Gọi \(\{ O\} = AC \cap BD \Rightarrow O\) là trung điểm của \(BD\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(DD\prime \) thì \(OI\) là đường trung bình của

\(\Delta BDD\prime \Rightarrow OI//BD\prime \Rightarrow BD\prime //(ACI)\).

\( \Rightarrow d\left( {BD\prime ;AC} \right) = d\left( {BD\prime ;(ACI)} \right) = d\left( {D\prime ;(ACI)} \right) = d(D;(ACI)){\rm{. }}\)\(\)

Ta thấy \(DI,DA,DC\) đôi một vuông góc với nhau nên

\(\frac{1}{{{d^2}(D,(ACI))}} = \frac{1}{{D{A^2}}} + \frac{1}{{D{C^2}}} + \frac{1}{{D{I^2}}} = \frac{1}{{D{A^2}}} + \frac{1}{{D{C^2}}} + \frac{4}{{D{D^{\prime 2}}}} \Rightarrow \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{4}{{{z^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}}\)(3)

Từ (1),(2),(3) ta có hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}}}\\{\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}}}\\{\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{4}{{{z^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{{{x^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}}}\\{\frac{1}{{{y^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}}}\\{\frac{1}{{{z^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = a}\\{y = a}\\{z = 2a}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Vậy thể tích khối hộp là \(V = xyz = a \cdot a \cdot 2a = 2{a^3}\).