(Cụm Trường Nghệ An – 2022) Cho lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) có thể tích bằng 2. Gọi \(M,N\) lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh \(AA’\) và \(BB’\) sao cho \(M\) là trung điểm \(AA’\) và \(B’N = \frac{2}{3}BB’\). Đường thẳng \(CM\) cắt đường thẳng \(A’C’\) tại \(P\) và đường thẳng \(CN\) cắt đường thẳng \(B’C’\) tại \(Q\). Biết thể tích khối đa diện lồi \(A’MPB’NQ\) bằng \(\frac{a}{b}\) với \(a,b \in \mathbb{N};{\rm{ }}a,b\) nguyên tố cùng nhau. Tính \(a + 2b\).
A. \(14\).
B. \(31\).
C. \(41\).
D. \(32\).
Lời giải:
Chọn C
Ta có:
\(\frac{{PA’}}{{PC’}} = \frac{{A’M}}{{C’C}} = \frac{1}{2}\) hay \(\frac{{C’A’}}{{C’P}} = \frac{1}{2}\); \(\frac{{QB’}}{{QC’}} = \frac{{B’N}}{{C’C}} = \frac{2}{3}\) hay \(\frac{{C’B’}}{{C’Q}} = \frac{1}{3}\).
\(\frac{{{V_{A’B’C’.MNC}}}}{{{V_{A’B’C’.ABC}}}} = \frac{1}{3}\left( {\frac{{A’M}}{{A’A}} + \frac{{B’N}}{{B’B}} + \frac{{C’C}}{{C’C}}} \right) = \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + 1} \right) = \frac{{13}}{{18}}\)\( \Rightarrow {V_{A’B’C’.MNC}} = \frac{{13}}{{18}}{V_{A’B’C’.ABC}}\).
\({V_{C.A’B’C’}} = \frac{1}{3}{V_{A’B’C’.ABC}}\).
\(\frac{{{V_{C.C’PQ}}}}{{{V_{C.C’A’B’}}}} = \frac{{{S_{C’PQ}}}}{{{S_{C’A’B’}}}} = \frac{{C’P}}{{C’A’}}.\frac{{C’Q}}{{C’B’}} = 2.3 = 6\)\( \Rightarrow {V_{C.C’PQ}} = 6{V_{C.C’A’B’}} = 2{V_{A’B’C’.ABC}}\).
Suy ra: \({V_{A’MPB’NQ}} = {V_{C.C’PQ}} – {V_{A’B’C’.MNC}} = \left( {2 – \frac{{13}}{{18}}} \right){V_{A’B’C’.ABC}} = \frac{{23}}{{18}}.2 = \frac{{23}}{9}\).
Khi đó: \(a = 23,{\rm{ }}b = 9 \Rightarrow a + 2b = 41\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Thể tích đa diện
Trả lời