(Sở Bắc Giang 2022) Có bao nhiêu số nguyên dương \(x\) sao cho ứng với mỗi \(x\) có đúng 9 số nguyên \(y\) thỏa mãn \(\left( {{2^{y + 1}} – {x^2}} \right)\left( {{3^y} – x} \right) < 0\) ?

A. \(64.\)

B. \(67.\)

C. 128.

D. 53.

Lời giải:

THl: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{y + 1}} – {x^2} > 0}\\{{3^y} – x < 0}\end{array} \Leftrightarrow {{\log }_2}{x^2} – 1 < y < {{\log }_3}x} \right.\) (1).

Điều kiện cần \({\log _2}{x^2} – 1 < {\log _3}x \Leftrightarrow 2{\log _2}x – 1 < \log \) Vì \(x \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow x = 1.\) Thử lại \(x = 1\) loại.

TH2: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{y + 1}} – {x^2} < 0}\\{{3^y} – x > 0}\end{array} \Leftrightarrow {{\log }_3}x < y < {{\log }_2}{x^2} – 1(2)} \right.\)

Để có đúng 9 số nguyên \(y\) ta phải có \(y – 1 \le {\log _3}x < y < y + 1 < \ldots < y + 8 < {\log _2}{x^2} – 1 \le y + 9\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{3^{y – 1}} \le x < {3^y}}\\{{2^{\frac{{y + 9}}{2}}} < x \le {2^{\frac{{y + 10}}{2}}}.}\end{array}} \right.\)

Hệ trên vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{\frac{{y + 10}}{2}}} < {3^{y – 1}}}\\{{3^y} \le {2^{\frac{{y + 9}}{2}}}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y > 6,06 \ldots }\\{y \le 4,14 \ldots .}\end{array}} \right.} \right.\).

Từ đó, y nguyên ta được hệ có nghiệm khi \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 5}\\{y = 6}\end{array}} \right.\).

Do đó ta chỉ có hai trường hợp sau thỏa mãn bài toán

\( + y \in \{ 5;6; \ldots ;13\} \) nghĩa là \(4 \le {\log _3}x < 5;6; \ldots ;13 < {\log _2}{x^2} – 1 \le 14\), ta được \(x \in \{ 129; \ldots 181\} \) có

53 số nguyên.

\( + y \in \{ 6; \ldots ;14\} \) nghĩa là \(5 \le {\log _3}x < 6;7; \ldots ;14 < {\log _2}{x^2} – 1 \le 15\), ta được \(x \in \{ 243; \ldots 256\} \) có

14 số nguyên.