Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) = f\left( {5 – x} \right),\forall x \in \mathbb{R}\).Biết \(\int\limits_2^3 {f\left( x \right)} dx = 2\). Tính \(I = \int\limits_2^3 {xf\left( x \right)} dx\).

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) = f\left( {5 – x} \right),\forall x \in \mathbb{R}\).Biết \(\int\limits_2^3 {f\left( x \right)} dx = 2\). Tính \(I = \int\limits_2^3 {xf\left( x \right)} dx\).

A. \(I = 15\).                    

B. \(I = 5\).                    

C. \(I = 20\).                  

D. \(I = 10\)

Lời giải

Đặt \(t = 5 – x\)\( \Rightarrow x = 5 – t\)\( \Rightarrow dx =  – dt\).

Đổi cận: x=2 -> t=3

x=3 -> t=3

\(I = \int\limits_2^3 {xf\left( x \right)} dx = \int\limits_2^3 {\left( {5 – t} \right)f\left( {5 – t} \right)} dt = 5\int\limits_2^3 {f\left( {5 – t} \right)} dt – \int\limits_2^3 {tf\left( {5 – t} \right)} dt\)

\( \Leftrightarrow I = 5\int\limits_2^3 {f\left( t \right)} dt – \int\limits_2^3 {tf\left( t \right)} dt\)(Vì\(f\left( x \right) = f\left( {5 – x} \right),\forall x \in \mathbb{R}\))

\( \Leftrightarrow I = 10 – I \Leftrightarrow I = 5\).