Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) = f\left( {5 – x} \right),\forall x \in \mathbb{R}\).Biết \(\int\limits_2^3 {f\left( x \right)} dx = 2\). Tính \(I = \int\limits_2^3 {xf\left( x \right)} dx\).
A. \(I = 15\).
B. \(I = 5\).
C. \(I = 20\).
D. \(I = 10\)
Lời giải
Đặt \(t = 5 – x\)\( \Rightarrow x = 5 – t\)\( \Rightarrow dx = – dt\).
Đổi cận: x=2 -> t=3
x=3 -> t=3
\(I = \int\limits_2^3 {xf\left( x \right)} dx = \int\limits_2^3 {\left( {5 – t} \right)f\left( {5 – t} \right)} dt = 5\int\limits_2^3 {f\left( {5 – t} \right)} dt – \int\limits_2^3 {tf\left( {5 – t} \right)} dt\)
\( \Leftrightarrow I = 5\int\limits_2^3 {f\left( t \right)} dt – \int\limits_2^3 {tf\left( t \right)} dt\)(Vì\(f\left( x \right) = f\left( {5 – x} \right),\forall x \in \mathbb{R}\))
\( \Leftrightarrow I = 10 – I \Leftrightarrow I = 5\).
Trả lời