Câu hỏi:
Trong không gian Oxyz, cho hai \(M\left( {1;2;3} \right),{\rm{ }}N\left( {3;4;5} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 3z – 14 = 0\). Gọi Δ là đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\), các điểm \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(M,N\) trên Δ. Biết rằng khi \(MH = NK\) thì trung điểm của \(HK\) luôn thuộc một đường thẳng \(d\) cố định, một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là
A. \(\overrightarrow u \left( {1;2;1} \right)\).
B. \(\overrightarrow u \left( {1; – 2; – 1} \right)\).
C. \(\overrightarrow u \left( {0; – 2;1} \right)\).
D. \(\overrightarrow u \left( {1; – 2;1} \right)\).
Lời giải
Gọi \(I\) là trung điểm của \(HK\).
Do \(MH = NK\) nên \(\Delta HMI = \Delta KNI \Rightarrow IM = IN\). Khi đó \(I\) thuộc mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn \(MN\).
Ta có \(\left( Q \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {MN} = \left( {1;1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Mà \(I \in \Delta \subset \left( P \right)\). Suy ra \(I \in d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\)
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;2;3} \right)\).
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {1; – 2;1} \right)\).
Gọi \(\overrightarrow u \) là một vectơ chỉ phương của \(d\) thì \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow {{n_2}} \).
Suy ra \(\overrightarrow u \) cùng phương với \(\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]\). Chọn \(\overrightarrow u = \left( {1; – 2;1} \right)\)
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ
Để lại một bình luận