58. Cho \(\int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{e^x} + 3}}}  = a + b\ln \frac{{e + 3}}{4}\), với \(a,\) \(b\) là các số hữu tỉ tối giản. Tính \(S = {a^3} + {b^3}\).

Câu hỏi:

58. Cho \(\int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{e^x} + 3}}}  = a + b\ln \frac{{e + 3}}{4}\), với \(a,\) \(b\) là các số hữu tỉ tối giản. Tính \(S = {a^3} + {b^3}\).

A. \(S =  – 2\).

B. \(S = 0\).

C. \(S = 1\).

D. \(S = 2\).

Lời giải

Đặt \(t = {e^x} \Rightarrow {\rm{d}}t = {e^x}{\rm{d}}x\). Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 1;x = 1 \Rightarrow t = e\)

\(\int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{e^x} + 3}}}  = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}{\rm{d}}x}}{{{e^x}\left( {{e^x} + 3} \right)}}}  = \int\limits_1^e {\frac{{{\rm{d}}t}}{{t\left( {t + 3} \right)}}}  = \frac{1}{3}\int\limits_1^e {\left( {\frac{1}{t} – \frac{1}{{t + 3}}} \right){\rm{d}}t} \)\( = \frac{1}{3}\left. {\left( {\ln \left| t \right| – \ln \left| {t + 3} \right|} \right)} \right|_1^e = \frac{1}{3}\left[ {\left( {1 – \ln \left( {e + 3} \right)} \right) – ( – \ln 4)} \right]\)

\( = \frac{1}{3} – \frac{1}{3}\ln \frac{{e + 3}}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b =  – \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow S = {a^3} + {b^3} = 0\).

====================
Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Tích phân