40. Biết \(F\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}}\) là một nguyên hàm của \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu hỏi:

40. Biết \(F\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}}\) là một nguyên hàm của \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\int {f’\left( x \right){\rm{.}}\left( {{x^3} + 1} \right){\rm{d}}x = 4x + \frac{2}{{{x^2}}} + C} \).

B. \(\int {f’\left( x \right){\rm{.}}\left( {{x^3} + 1} \right){\rm{d}}x = 4x – \frac{2}{{{x^2}}} + C} \).

C. \(\int {f’\left( x \right){\rm{.}}\left( {{x^3} + 1} \right){\rm{d}}x =  – 4x – \frac{2}{{{x^2}}} + C} \).

D. \(\int {f’\left( x \right){\rm{.}}\left( {{x^3} + 1} \right){\rm{d}}x = x + \frac{2}{{{x^2}}} + C} \).

Lời giải

Ta có \(\frac{{f\left( x \right)}}{x} = F’\left( x \right) \Leftrightarrow \frac{{f\left( x \right)}}{x} =  – \frac{2}{{{x^3}}} \Leftrightarrow f\left( x \right) =  – \frac{2}{{{x^2}}}\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^3} + 1\\{\rm{d}}v = f’\left( x \right){\rm{d}}x\end{array} \right.\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = 3{x^2}{\rm{d}}x\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\).

Khi đó \(\int {f’\left( x \right){\rm{.}}\left( {{x^3} + 1} \right){\rm{d}}x = \left( {{x^3} + 1} \right)f\left( x \right) – \int {f\left( x \right).3{x^2}{\rm{d}}x} } \)

\( =  – 2x – \frac{2}{{{x^2}}} – \int {\left( { – 6} \right){\rm{d}}x}  = 4x – \frac{2}{{{x^2}}} + C\).

====================
Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Tích phân