Bất phương trình \(\log _2^2x + {\log _3}\frac{6}{x} \le \left( {1 + {{\log }_3}\frac{6}{x}} \right){\log _2}x\) có số nghiệm nguyên dương là

Câu hỏi: Bất phương trình \(\log _2^2x + {\log _3}\frac{6}{x} \le \left( {1 + {{\log }_3}\frac{6}{x}} \right){\log _2}x\) có số nghiệm nguyên dương là

A. vô nghiệm.

B. 1 nghiệm.

C. 2 nghiệm.

D. 3 nghiệm.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Điều kiện: \(x > 0.\)

BPT đã cho \( \Leftrightarrow \)\(\log _2^2x + {\log _3}\frac{6}{x} – {\log _2}x – {\log _2}x.{\log _3}\frac{6}{x} \le 0\)

\( \Leftrightarrow \)\(\log _2^{}x\left( {{{\log }_2}x – 1} \right) + {\log _3}\frac{6}{x}\left( {1 – {{\log }_2}x} \right) \le 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x – 1} \right)\left( {{{\log }_2}x – {{\log }_3}\frac{6}{x}} \right) \le 0 & \left( 1 \right)\)

Xét phương trình: \(\left( {{{\log }_2}x – 1} \right)\left( {{{\log }_2}x – {{\log }_3}\frac{6}{x}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}lo{g_2}x – 1 = 0\quad \quad \quad (1)\\{\log _2}x – {\log _3}\frac{6}{x} = 0\quad (2)\end{array} \right.\)

Giải\((1)\): \((1) \Leftrightarrow x = 2\;(t/m)\)

Giải \((2)\):\((2) \Leftrightarrow {\log _2}x = {\log _3}\frac{6}{x}\) \( \Leftrightarrow {\log _2}x = \frac{{{{\log }_2}\frac{6}{x}}}{{{{\log }_2}3}}\)\( \Leftrightarrow \)\({\log _2}3.{\log _2}x = {\log _2}6 – {\log _2}x\)

\( \Leftrightarrow \) \({\log _2}x.\left( {1 + {{\log }_2}3} \right) = {\log _2}6\)\( \Leftrightarrow {\log _2}x.\left( {{{\log }_2}2 + {{\log }_2}3} \right) = {\log _2}6\)\( \Leftrightarrow lo{g_2}x = 1\)\( \Leftrightarrow x = 2\;(t/m)\)

Ta có bảng xét dấu

Vậy BPT đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 2.\)

=======