Đề bài: Cho $\triangle ABC$ có $r,R$ theo thứ tự là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp, chứng minh rằng:  $\frac{r}{R}\leq \frac{1}{2}$

Lời giải

Đề bài:
Cho $\triangle ABC$ có $r,R$ theo thứ tự là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp, chứng minh rằng:  $\frac{r}{R}\leq \frac{1}{2}$
Lời giải

Ta có: $S=p.r=\frac{abc}{4R}$
           $\Rightarrow r=\frac{abc}{4Rp}=\frac{abc}{4R(a+b+c)}=\frac{2R.\sin A.2R.\sin B.2R.\sin C}{4R(2R.\sin A+2R.\sin B+2R\sin C)}$
                     $=\frac{2R\sin A.\sin B.\sin C}{\sin A+\sin B+\sin C}\leq \frac{2R.\sin A.\sin B.\sin C}{\sqrt[3]{\sin A.\sin B.\sin C}}$
                           $=\frac{2R}{3}(\sqrt[3]{\sin A.\sin B.\sin C})^2\leq \frac{2R}{3}(\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}}{2}})^2=\frac{R}{2}$.
Suy ra  $\frac{r}{R}\leq \frac{1}{2}$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi $\triangle ABC$ đều.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác