Đề bài: Cho $x_1,x_2…x_n$ là $n$ số thực thuộc đoạn $[0,1]$. Chứng minh rằng ta luôn có bất đẳng thức:$x_1(1-x_2)+x_2(1-x_3)+…+x_n(1-x_1)\leq \frac{n}{2}           (1)$

Lời giải

Đề bài:
Cho $x_1,x_2…x_n$ là $n$ số thực thuộc đoạn $[0,1]$. Chứng minh rằng ta luôn có bất đẳng thức:$x_1(1-x_2)+x_2(1-x_3)+…+x_n(1-x_1)\leq \frac{n}{2}           (1)$
Lời giải

Ta xét các trường hợp:

*Trường hợp 1: nếu $n=2k, k\in N^{*}$, thì $(1)$  được chuyển về dạng:
$x_1(1-x_2)+x_2(1-x_3)+…+x_{2k}(1-x_1)\leq k.    (2) $
Nhận xét rằng với $a,b\in [0,1]$, ta luôn có:
$(1-a)(1-b)\geq 0\Leftrightarrow a+b\leq 1+ab$
Suy ra: \begin{cases}x_1+x_2\leq 1+x_1x_2 \\ x_2+x_3\leq 1+x_2x_3 \\… \\x_{2k}+x_1\leq 1+x_{2k}x_1\end{cases}
Cộng vế với vế bất đẳng thức  trên ta được:
$\displaystyle x_1+x_2+…+x_{2k}\leq k+\frac{x_1x_2+x_2x_3+…+x_{2k}x_1}{2}\leq k+x_1x_2+x_2x_3+…+x_{2k}x_1$
$\Leftrightarrow x_1(1-x_2)+x_2(1-x_3)+…+x_{2k}(1-x_1)\leq k$.
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow 
\displaystyle  \frac{x_1x_2+x_2x_3+…+x_{2k}x_1}{2}=x_1x_2+x_2x_3+…+x_{2k}x_1 \Leftrightarrow \exists $ (2k-1) số trong 2k số $x_1; x_2;\ldots;x_{2k}$ bằng $0$.

*Trường hợp 2 : Nếu $n=2k+1, k\in N$ thì $(1)$ được chuyển về dạng:
         $
\displaystyle x_1(1-x_2)+x_2(1-x_3)+…+x_{2k+1}(1-x_1)\leq \frac{2k+1}{2}$
         $
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{2k+1}{2}+x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+…+x_{2k+1}x_1\geq x_1+x_2+…+x_{2k+1}      (3)$
Ta chứng minh $(3)$ tương tự như trường hợp $n=2k$, suy ra:
               $
\displaystyle x_1(1-x_2)+x_2(1-x_3)+…+x_{2k}(1-x_1)\leq \frac{2k+1}{2}=\frac{n}{2}$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow 
\exists $ $2k$ số trong 2k+1 số $x_1; x_2;\ldots;x_{2k+1}$ bằng $0$.
Ta có đpcm. 

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác