Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực $a$ luôn có:   $\sqrt{a^2+a+1}+\sqrt{a^2-a+1}\geq 2 .   (1)$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng với mọi số thực $a$ luôn có:   $\sqrt{a^2+a+1}+\sqrt{a^2-a+1}\geq 2 .   (1)$
Lời giải

Ta có nhận xét:
   $\displaystyle a^2+a+1=(a+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2\Rightarrow $ xét vectơ $\displaystyle\overrightarrow{u}=(a+\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$,
   $
\displaystyle a^2-a+1=(\frac{1}{2}-a)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2\Rightarrow $ xét vectơ $
\displaystyle \overrightarrow{v}=(\frac{1}{2}-a;\frac{\sqrt{3}}{2})$,
   $|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|=|(1;\sqrt{3})|=\sqrt{1+3}=2$
Do đó $(1)$ được viết thành $|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{v}|\geq |\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|$, luôn đúng
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
   $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ cùng hướng $
\displaystyle \Leftrightarrow \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}, k>0\Leftrightarrow \frac{
\displaystyle a+\frac{1}{2}}{
\displaystyle \frac{1}{2}-a}=\frac{\frac{
\displaystyle \sqrt{3}}{2}}{
\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\Leftrightarrow a=0$.

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác