Đề bài: Chứng minh rằng với mọi $a,b\in R$ luôn có:$\frac{a+b}{2}\times \frac{a^2+b^2}{2}\times \frac{a^3+b^3}{2}\leq \frac{a^6+b^6}{2}$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng với mọi $a,b\in R$ luôn có:$\frac{a+b}{2}\times \frac{a^2+b^2}{2}\times \frac{a^3+b^3}{2}\leq \frac{a^6+b^6}{2}$
Lời giải

Ta đi chứng minh với mọi $x,y$ luôn có:
$$\frac{x+y}{2}.\frac{x^3+y^3}{2}\leq \frac{x^4+y^4}{2}(*)$$
Thật vậy:
$
(*)\Leftrightarrow (x+y)(x^3+y^3)\leq 2(x^4+y^4)\Leftrightarrow xy(x^2+y^2)\leq x^4+y^4
$
$\Leftrightarrow$$ (x^3-y^3)(x-y)\geq 0
\Leftrightarrow$$(x-y)^2((x+\frac{y}{2})^2+\frac{3y^2}{4})\geq 0$, luôn  đúng.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b$

Khi đó, áp dụng $(*)$, ta được:
$\frac{a+b}{2}. \frac{a^2+b^2}{2}. \frac{a^3+b^3}{2}=(\frac{a+b}{2}. \frac{a^3+b^3}{2}).\frac{a^2+b^2}{2}$$\leq \frac{a^4+b^4}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}$

Xét  với  $x=a^2, y=b^2$, làm tương tự như trên suy ra: $\frac{x+y}{2}.\frac{x^2+y^2}{2}\leq \frac{x^3+y^3}{2}$
Do đó:  $\frac{a^2+b^2}{2}. \frac{a^4+b^4}{2} \leq \frac{a^6+b^6}{2}$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b$
Ta có đpcm.

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác