Đề bài: Cho 3 số thực $x,y,z$ thỏa mãn : $\left\{ \begin{array}{l} x^{2}+xy+y^{2}=3  \\ y^{2} +yz+z^{2}=16  \end{array} \right. $Chứng minh rằng $-8 \leq xy+yz+zx \leq 8$

Lời giải

Đề bài:
Cho 3 số thực $x,y,z$ thỏa mãn : $\left\{ \begin{array}{l} x^{2}+xy+y^{2}=3  \\ y^{2} +yz+z^{2}=16  \end{array} \right. $Chứng minh rằng $-8 \leq xy+yz+zx \leq 8$
Lời giải

Từ hệ ta có : $48=(x^{2}+y^{2}+xy)(y^{2}+z^{2}+yz)  $
                             $=[(\frac{x}{2}+y) ^{2}+(\frac{\sqrt{3} }{2}x) ^{2}][(y+\frac{z}{2}) ^{2}+(\frac{\sqrt{3} }{2}z) ^{2}]   $
                             $\geq [(\frac{x}{2}+y)(\frac{\sqrt{3} }{2}z)+(\frac{\sqrt{3} }{2}x)(y+\frac{z}{2})]^{2}   $ (Theo bất đẳng thức – Hunhia cốp- xki)
                             $=(\frac{\sqrt{3} }{4}xz+\frac{\sqrt{3}}{2}yz+\frac{\sqrt{3}}{2}xy+\frac{\sqrt{3}}{4}xz)^{2}=\frac{3}{4}(xy+yz+zx)^{2}  $
Do đó $\frac{3}{4}(xy+yz+zx)^{2} \leq 48 \Rightarrow (xy+yz+zx)^{2} \leq 64 $
Vậy $-8\leq xy+yz+zx \leq 8 $

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác