Đề bài: Cho $f:[0,1] \to [-1,1]$ liên tục.Chứng minh rằng: $\int\limits^{1}_{0}\sqrt{a-[f(x)]^{2}dx}\leq \sqrt{1-[\int\limits^{1}_{0}f(x)dx]^{2}}$

Lời giải

Đề bài:
Cho $f:[0,1] \to [-1,1]$ liên tục.Chứng minh rằng: $\int\limits^{1}_{0}\sqrt{a-[f(x)]^{2}dx}\leq \sqrt{1-[\int\limits^{1}_{0}f(x)dx]^{2}}$
Lời giải

Theo BĐT Holder,ta có:
*$\int\limits^{1}_{0}1.\sqrt{1-[f(x)]^{2}dx}\leq (\int\limits^{1}_{0}1^{2}dx)^{\frac{1}{2}}(\int\limits^{1}_{0}(1-[f(x)]^{2}dx)^{\frac{1}{2}} (1)$
$\leq (\int\limits^{1}_{0}(1-[f(x)]^{2}dx)^{\frac{1}{2}}$
*$(\int\limits^{1}_{0}1-f(x)dx)^{2} \leq (\int\limits^{1}_{0}1^{2}dx)(\int\limits^{1}_{0}[f(x)]^{2}dx)$
$\Rightarrow (\int\limits^{1}_{0}f(x)dx)^{2}\leq \int\limits^{1}_{0}[f(x)]^{2}dx   (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra rằng:
$\int\limits^{1}_{0}\sqrt{1-[f(x)]^{2}dx}\leq \sqrt{1-[\int\limits^{1}_{0}f(x)dx]^{2}}$
$\Rightarrow$ (ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác