Đề bài: Cho $k$ và $n$ là các số nguyên thỏa mãn \(0 \le k \le n\). Chứng minh rằng: \(C_{2n + k}^n.C_{2n – k}^n \le {\left( {C_{2n}^n} \right)^2}\)

Lời giải

Đề bài:
Cho $k$ và $n$ là các số nguyên thỏa mãn \(0 \le k \le n\). Chứng minh rằng: \(C_{2n + k}^n.C_{2n – k}^n \le {\left( {C_{2n}^n} \right)^2}\)
Lời giải

 Đặt \({a_k} = C_{2n + k}^n.C_{2n – k}^n\left( {0 \le k \le n} \right)\).
Ta chứng minh rằng \({a_0} > {a_1} > … > {a_n}\,\,\left( 1 \right)\)

Thật vậy, biến đổi tương đương ta được:
\({a_k} > {a_{k + 1}}\left( {0 \le k \le n – 1} \right)\,\,\left( 2 \right)\)
\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \frac{{\left( {2n + k} \right)!}}{{n!\left( {n + k} \right)!}}.\frac{{\left( {2n – k} \right)!}}{{n!\left( {n – k} \right)!}} > \frac{{\left( {2n + k + 1} \right)!}}{{n!\left( {n + k + 1} \right)!}}.\frac{{\left( {2n – k – 1} \right)!}}{{n!\left( {n – k – 1} \right)!}}\\  \Leftrightarrow \frac{{2n – k}}{{n – k}} > \frac{{2n + k + 1}}{{n + k + 1}}\\
 \Leftrightarrow \left( {2n – k} \right)\left( {n + k + 1} \right) > \left( {n – k} \right)\left( {2n + k + 1} \right)\\  \Leftrightarrow 2nk + n > 0
\end{array}\)
Ta thu được bất đẳng thức đúng. Suy ra $(1)$ đúng.
Do đó \({a_k} = C_{2n + k}^n.C_{2n – k}^n \le {\left( {C_{2n}^n} \right)^2} = {a_0}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(k = 0\)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác