Đề bài: Cho các số $a_1,a_2,b_1,b_2$. Chứng minh rằng:    $\sqrt {{{\left( {{a_1} + {a_2}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1} + {b_2}} \right)}^2}}  \le \sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2}  + \sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} $

Lời giải

Đề bài:
Cho các số $a_1,a_2,b_1,b_2$. Chứng minh rằng:    $\sqrt {{{\left( {{a_1} + {a_2}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1} + {b_2}} \right)}^2}}  \le \sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2}  + \sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} $
Lời giải

Trên mặt phẳng tọa độ lấy các vecto
        $\overrightarrow u  = \left( {{a_1},{b_1}} \right),\overrightarrow v  = \left( {{a_2},{b_2}} \right)$
Ta có: $\left| {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right| \le \left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow v } \right|$
    $ \Rightarrow \sqrt {{{\left( {{a_1} + {a_2}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1} + {b_2}} \right)}^2}}  \le \sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2}  + \sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} $
Dấu đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow \overrightarrow u  \text {cùng hướng với} \overrightarrow v  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow u \parallel \overrightarrow v \\
\overrightarrow u .\overrightarrow v  \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}\\
{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} \ge 0
\end{array} \right.$
(quy ước mẫu bằng $0$ thì tử bằng $0$ ).

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki