Đề bài: $1.$ Giải phương trình: $\sqrt{3}\sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x}  $$2.$ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:   $y=\sin x\sqrt{\cos x}+\cos x\sqrt{\sin x}  $

Lời giải

Đề bài:
$1.$ Giải phương trình: $\sqrt{3}\sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x}  $$2.$ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:   $y=\sin x\sqrt{\cos x}+\cos x\sqrt{\sin x}  $
Lời giải

$1$. $\sqrt 3 {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x = \frac{1}{{\cos x}} \Leftrightarrow
\sqrt 3 {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}} + 1 = \frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}$
$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \sqrt 3 {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}} + 1 = 1 + {\tan ^2}x\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}} = 0\\
{\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}} = \sqrt 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
x = \frac{\pi }{3} + k\pi
\end{array} \right.(k \in Z)
\end{array}$
$2$. Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki:
$\begin{array}{l}
{y^2} = {\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\sqrt {\cos x}  + \cos x\sqrt
{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} } \right)^2} \le \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}
\right)\left( {\cos x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)\\
 = \sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \\
 \Rightarrow y \le \sqrt[4]{2}
\end{array}$
Mặt khác khi x = $\frac{\pi }{4}$ thì sinx = cosx = $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$
$ \Rightarrow y = 2.\frac{1}{{\sqrt 2 }}.\sqrt {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}  = \sqrt[4]{2}$
Do đó $max  y = \sqrt[4]{2}$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki