Đề bài: $\alpha ,\beta , \gamma $  là 3 góc dương thỏa mãn điều kiện $\alpha  + \beta  + \gamma  = \frac{\pi }{2}$Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  $g = \sqrt {1 + \tan\alpha \tan\beta }  + \sqrt {1 + \tan\beta \tan\gamma }  + \sqrt {1 + \tan\gamma \tan\alpha } $

Lời giải

Đề bài:
$\alpha ,\beta , \gamma $  là 3 góc dương thỏa mãn điều kiện $\alpha  + \beta  + \gamma  = \frac{\pi }{2}$Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  $g = \sqrt {1 + \tan\alpha \tan\beta }  + \sqrt {1 + \tan\beta \tan\gamma }  + \sqrt {1 + \tan\gamma \tan\alpha } $
Lời giải

Theo giả thiết ta có: $\pi /2 – \gamma  = \alpha  + \beta $
$ \Rightarrow tg(\pi /2 – \gamma ) = \cot g\gamma  = \frac{1}{{tg\gamma }} = tg(\alpha  + \beta ) = \frac{{tg\alpha  + tg\beta }}{{1 – tg\alpha tg\beta }}$
$ \Leftrightarrow tg\alpha tg\beta  + tg\beta tg\gamma  + tg\gamma tg\alpha  = 1$

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
$\begin{array}{l}
g = 1.\sqrt {1 + tg\alpha tg\beta }  + 1.\sqrt {1 + tg\beta tg\gamma }  + 1.\sqrt {1 + tg\gamma tg\alpha }   \\
   \le \left[ {\left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)} \right]{\left( {1 + tg\alpha tg\beta  + 1 + tg\beta tg\gamma  + 1 + tg\gamma tg\alpha } \right)^{1/2}}
\end{array}$
    $ = \sqrt {3.4}  = 2\sqrt 3 {\rm{ }} \Rightarrow max g = 2\sqrt 3 $
Dấu = xảy ra khi $\alpha  = \beta  = \gamma  = \pi /6$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki