Đề bài: Biện luận theo tham số $a$ về số nghiệm của phương trình :$\sqrt {2 – x^2} {sinx} + \sqrt {2 + x^2} \cos x = \left| {a + 1} \right| + \left| {a – 1} \right|$

Lời giải

Đề bài:
Biện luận theo tham số $a$ về số nghiệm của phương trình :$\sqrt {2 – x^2} {sinx} + \sqrt {2 + x^2} \cos x = \left| {a + 1} \right| + \left| {a – 1} \right|$
Lời giải

TXĐ : $x \in \left[ { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right] \subseteq \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$
$VP =|a+1|+|a-1|= |a + 1| + |a – 1| \ge |a + 1 + a – 1| = 2$
Dấu bằng xảy ra khi : $(a + 1)(1 – a) \ge 0 \Leftrightarrow  – 1 \le a \le 1$
$VT = \sqrt {2 – {x^2}} {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \sqrt {2 + {x^2}} \cos x \le $
$\sqrt {2 – {x^2} + 2 + {x^2}} \sqrt {{{\sin }^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}  =
2\,(Bunhiacopxki)$
Nếu $|a| > 1$ thì $VP > 2$, VT$ \le  2$ nên pt vô nghiệm.
Nếu $|a| \le 1$ thì $VP = 2, VT  \le $ do đó:
Phương trình $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
VP = 2\\
VT = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {2 – {x^2}} }}{{{\mathop{\rm s}\nolimits}
{\rm{inx}}}} = \frac{{\sqrt {2 + {x^2}} }}{{{\rm{cosx}}}}$
$ \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{2 – {x^2}}}{{2 + {x^2}}}}  = {\mathop{\rm t}\nolimits}
{\rm{anx}}$ ($x = 0$ không phải là nghiệm)
Xét $f(x) = \sqrt {\frac{{2 – {x^2}}}{{2 + {x^2}}}}  – {\mathop{\rm t}\nolimits}
{\rm{anx}}\,\forall x \in \left[ { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right] \subseteq \left[ { – \frac{\pi
}{2};\frac{\pi }{2}} \right]$
$a$)  $ – \sqrt 2  \le x 0\forall x \Rightarrow Pt\,vn$
$b$) $0 \le x \le \sqrt 2 ;\,\,\,f(0) = 1 > 0;\,\,f(\sqrt 2 ) =  – \tan \sqrt 2  $f'(x) = \frac{{ – 4x}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}\sqrt {\frac{{2 – {x^2}}}{{2 + {x^2}}}}
}} – \frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}} duy nhất trong ${\rm{[}}0;\sqrt 2 {\rm{]}}$
Tóm lại :
+ Nếu $|a| > 1$ thì pt vô nghiệm.
+ Nếu $|a| \le 1$ thì pt có nghiệm duy nhất.

Cách khác : Vẽ đồ thị hai hàm số $y=\sqrt{\frac{2-x^2}{2+x^2}}$ và $y=\tan x$ thấy trong $[-\sqrt{2},\sqrt{2}
] $, hai đồ thị cắt nhau tại $1$ điểm duy nhất $\Rightarrow $ phương trình có nghiệm duy nhất trong $[-\sqrt{2},\sqrt{2}
] $

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki