• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Toán 12
  • Toán 11
  • Toán 10
  • Trắc nghiệm
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Tiện ích Toán
Bạn đang ở:Trang chủ / Bất đẳng thức - Bài tập tự luận / Đề bài: Chứng minh rằng : $\int\limits_{0}^{\pi}e ^{\sin^2x}dx > \frac{3\pi}{2}$

Đề bài: Chứng minh rằng : $\int\limits_{0}^{\pi}e ^{\sin^2x}dx > \frac{3\pi}{2}$

Ngày 11/07/2021 Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức Bunhiacốpxki

Đề bài: Chứng minh rằng : $\int\limits_{0}^{\pi}e ^{\sin^2x}dx > \frac{3\pi}{2}$

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng : $\int\limits_{0}^{\pi}e ^{\sin^2x}dx > \frac{3\pi}{2}$
Lời giải

* Đặt $ t = \pi  – x \Rightarrow dt = -dx $
Khi đó : $ \int\limits_{\frac{\pi}{2} }^{\pi } e^{\sin ^2x}dx = \int\limits_{\frac{\pi}{2} }^{0} e^{\sin ^2t}(-dt) = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} } e^{\sin ^2t}dt = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }e^{\sin ^2x}dx$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{\pi } e^{\sin ^2x}dx = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} } e^{\sin ^2x}dx + \int\limits_{\frac{\pi}{2} }^{\pi }e^{\sin ^2x}dx = 2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }e^{\sin ^2x}$
* Đặt $ t = \frac{\pi}{2} – x   \Rightarrow dt = -dx$
Khi đó : $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }  e^{\sin ^2x}dx = \int\limits_{\frac{\pi}{2} }^{0} e^{\cos ^2t}(-dt) = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} } e^{\cos ^2t}dt = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} } e^{\sin ^2x}dx$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{\pi} e^{\sin ^2x}dx = 2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }e^{\sin ^2x}dx = 2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} } e^{\cos ^2x}dx$
Theo BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski:
             $\frac{\pi}{2}\sqrt{e} = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }e ^ {\frac{\sin ^2x}{2} }.e^{\frac{\cos ^2x}{2} }dx \leq  \sqrt{\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{\sin ^2x}dx. \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{\cos ^2x}dx  } = \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{\pi }e^{\sin ^2x}dx$
Vậy $ \int\limits_{a}^{\pi }e^{\sin ^2x}dx \geq \pi \sqrt{e} >\frac{3\pi}{2}$       

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Cho  $\begin{cases}x,y,z \in [0;1] \\ x+y+z=\frac{3}{2} \end{cases}$Tìm giá trị lớn nhất  và giá trị nhỏ nhất của  $f(x,y,z)=\cos^2 (x^2+y^2+z^2)$
  2. Đề bài: Cho $a,b,c,p,q$ là năm số dương tùy ý. Chứng minh:         $\frac{a}{pb+qc}+\frac{b}{pc+qa}+\frac{c}{pa+qb}\geq \frac{3}{p+q}             (1)$
  3. Đề bài: Cho các số $a_1,a_2,b_1,b_2$. Chứng minh rằng:    $\sqrt {{{\left( {{a_1} + {a_2}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1} + {b_2}} \right)}^2}}  \le \sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2}  + \sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} $
  4. Đề bài: Cho  $\begin{cases}s,t,u,v \in (0;\frac{\pi}{2}) \\ s+t+u+v=\pi \end{cases}$Chứng minh rằng:  $\frac{\sqrt{2}\sin s-1}{\cos s}+\frac{\sqrt{2}\sin t-1}{\cos t}+\frac{\sqrt{2}\sin u-1}{\cos u}+\frac{\sqrt{2}\sin v-1}{\cos v}\geq 0$
  5. Đề bài: Cho ba số nguyên dương $a,b,c$ chứng minh rằng:    $\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{a^2-ac+c^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{a+b+c}          (1)$
  6. Đề bài: Cho $ab+bc+ca=4.$Chứng minh rằng: $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq \frac{16}{3}$
  7. Đề bài: Cho \(a,b,c\geq -\frac{3}{4}\) và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{4a+3}+\sqrt{4b+3}+\sqrt{4c+3}\leq 3\sqrt{7}\).
  8. Đề bài: Cho $y=\sqrt{acos^2x+bsin^2x+c}+\sqrt{asin^2x+bcos^2x+c}  $Với $a > 0,b > 0,c > 0$.  Tìm $\min y, \max y$
  9. Đề bài: Cho ba số thực dương $a,b,c$ chứng minh rằng:    $\frac{c^2}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}\geq \frac{a+b+c}{2}$
  10. Đề bài: Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$ thì $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 9$
  11. Đề bài: Cho \(6x+y=5\). Chứng minh rằng: \(9x^{2}+y^{2}\geq 5\).
  12. Đề bài: Với $a,b,c,x,y,z$ là những số thực bất kì, chứng minh rằng :$|ax+by+cz|\leq  \sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{x^2+y^2+z^2}  $
  13. Đề bài: Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $a,b\geq 1$. Chứng minh rằng:   $\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}\leq 2\sqrt{\ln\frac{a+b}{2}}$
  14. Đề bài: Cho $a^{2}+b^{2}=1$.Chứng minh: $a\sqrt{b+1}+b\sqrt{a+1}\leq \sqrt{2+\sqrt{2}}$
  15. Đề bài: Cho $x,y,z>0$. Chứng minh : $\frac{x}{y+2z}+\frac{y}{z+2x}+\frac{z}{x+2y}\geq 1$.

Reader Interactions

Để lại một bình luận Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

Booktoan.com (2015 - 2025) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.