Đề bài: Xác định dạng của tam giác nếu   $S = \frac{ \sqrt{3} }{ 36} (a+b+c)^2     (1)$

Lời giải

Đề bài:
Xác định dạng của tam giác nếu   $S = \frac{ \sqrt{3} }{ 36} (a+b+c)^2     (1)$
Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có :
$(p-a)(p-b)(p-c) \leq \left ( \frac{p-a+p-b+p-c }{ 3}  \right )^3 = \frac{ p^3}{ 27} $ 
dấu đẳng thức xảy ra khi và chi khi $a=b=c$
$\Leftrightarrow p(p-a)(p-b)(p-c) \leq \frac{ p^4}{27 } $  dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$
$\Leftrightarrow \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \leq \frac{p^2 }{3 \sqrt{3}  } = \frac{\sqrt{3} (a+b+c)^2  }{ 36}  (2)$
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta nhận thấy $(1)$ chỉ đúng khi ở $(2)$ có dấu đằng thức xảy ra. Tức là khi $\Delta ABC$ đều. Vậy $(1)$ đúng thì $\Delta ABC$ đều.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi