Đề bài: Cho $a,b,c$ dương. Chứng minh: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$

Lời giải

Đề bài:
Cho $a,b,c$ dương. Chứng minh: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$
Lời giải

Áp dụng BĐT cosi cho 3 số dương:
$a+b+c\geq 3 \sqrt[3]{abc}>0 ; \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc} }     $
$=>(a+b+c)( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 3 \sqrt[3]{abc}\frac{3}{\sqrt[3]{abc} }=9$
Cách khác:
$(a+b+c)( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=1+1+1+(\frac{a}{b} +\frac{b}{a})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b} ) $
$\geq 3+2+2+2=9$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi