475. Có bao nhiêu số nguyên \(m\left( {m \ge 2} \right)\) sao cho tồn tại số thực \(x\) thỏa mãn \({\left( {{m^{\ln x}} + 4} \right)^{\ln m}} + 4 = x?\)

Câu hỏi:
475. Có bao nhiêu số nguyên \(m\left( {m \ge 2} \right)\) sao cho tồn tại số thực \(x\) thỏa mãn \({\left( {{m^{\ln x}} + 4} \right)^{\ln m}} + 4 = x?\)

A. \(8\).

B. \(9\).

C. \(1\).

D. Vô số

Lời giải

ĐK: \(x > 0\)

Đặt \(y = {m^{\ln x}} + 4 > 0\) thế vào phương trình ta có \({y^{\ln m}} + 4 = x \Leftrightarrow x = 4 + {m^{\ln y}}\) vì \({m^{\ln y}} = {y^{\ln m}}\)

_{Khi đó ta có hệ phương trình:} \(\left\{ \begin{array}{l}y = {m^{\ln x}} + 4\quad \left( 1 \right)\\x = {m^{\ln y}} + 4\quad \left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {m^t} + 4\)\( \Rightarrow f’\left( t \right) = \ln m.{m^t} > 0\) (Do \(m \ge 2\) ). Nên hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Khi đó: \(x = y\)

Từ (2): \(x = {m^{\ln x}} + 4\)\( \Leftrightarrow {x^{\ln m}} = x – 4\)\( \Leftrightarrow \ln \left( {{x^{\ln m}}} \right) = \ln \left( {x – 4} \right)\)\( \Leftrightarrow \ln m.\ln x = \ln \left( {x – 4} \right)\)\( \Leftrightarrow \ln m = \frac{{\ln \left( {x – 4} \right)}}{{\ln x}}\)

Do \(x > 0\) nên \(x – 4 < x \Rightarrow \ln \left( {x – 4} \right) < \ln x \Rightarrow \frac{{\ln \left( {x – 4} \right)}}{{\ln x}} < 1\)

Nên \(\ln m < 1 \Leftrightarrow m < e\) hay \(m \in \left\{ 2 \right\}\)

=======