26.  [2D1-2.6-3] Cho hàm số \(y = \left| {{x^2} – 2mx + 1} \right| + 2x\). Gọi \(S\) là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của \(m \in [ – 10;10]\) để hàm số có điểm cực đại. Số phần tử của tập \(S\) là:

DẠNG TOÁN CỰC TRỊ HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

ĐỀ BÀI:

26.  [2D1-2.6-3] Cho hàm số \(y = \left| {{x^2} – 2mx + 1} \right| + 2x\). Gọi \(S\) là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của \(m \in [ – 10;10]\) để hàm số có điểm cực đại. Số phần tử của tập \(S\) là:

A. 20.

B. 21.

C. 19.

D. 18.

Lời giải

Xét hàm số \(g(x) = {x^2} – 2mx + 1\), \(\Delta {‘_g} = {m^2} – 1\) 

+ Nếu \(\Delta {‘_g} \le 0 \Leftrightarrow  – 1 \le m \le 1\), khi đó \(g(x) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), hàm số trở thành \(y = {x^2} – 2(m – 1)x + 1\). Hàm số này luôn có cực tiểu, không có cực đại nên không thỏa điều kiện bài toán.

+ Nếu \(\Delta {‘_g} > 0 \Leftrightarrow m \in ( – \infty ; – 1) \cup (1; + \infty )\) thì \(g(x) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_{1,2}} = m \pm \sqrt {{m^2} – 1} \). Khi đó hàm số trở thành \(y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 2(m – 1)x + 1,\,\,x \in ( – \infty ;{x_1}) \cup ({x_2}; + \infty )\\ – {x^2} + 2(m + 1)x – 1,\,\,\,{x_1} \le x \le {x_2}\,\,(2)\end{array} \right.\) 

Để hàm số có cực đại thì hàm số (2) phải có cực đại trong khoảng \(({x_1};{x_2})\).

Suy ra \(m – \sqrt {{m^2} – 1}  < m + 1 < m + \sqrt {{m^2} – 1} \) \( \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} – 1}  > 1 \Leftrightarrow {m^2} > 2 \Leftrightarrow m > \sqrt 2 \) hoặc \(m <  – \sqrt 2 \).

Kết hợp điều kiện \(m\) nguyên và \(m \in [ – 10;10]\) nên suy ra \(m \in \{  – 10,…, – 2,2,…,10\} \).

Vậy có 18 giá trị nguyên \(m \in [ – 10;10]\) thỏa điều kiện bài toán.

===========