ĐỀ BÀI:
20. Cho \(f(x)\) là một hàm đa thức bậc năm thoả mãn \(f\left( 0 \right) = 0\). Hàm số\(f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên
Hàm số \(h\left( x \right) = \left| {f\left( {\cos x} \right) – \frac{1}{3}{{\cos }^3}x + {{\cos }^2}x} \right|\)có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\)?
A.\(13\). B.\(11\). C.\(9\).
D. \(7\)
Lời giải
Do \(f(x)\) là một hàm đa thức bậc năm nên \(f’\left( x \right)\) là một hàm đa thức bậc bốn.
Dựa vào đồ thị ta nhận thấy \(f’\left( x \right)\) có dạng \(f’\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\), đồ thị đi qua các điểm \(A(0;1),\,B(1;0)\) và có điểm cực tiểu \({x_{CT}} = 1\). Từ đó ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}f’\left( 0 \right) = 1\\f’\left( 1 \right) = 0\\f”\left( 1 \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1\\a + b + c = 0\\4a + 2b = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1\\a = 1\\b = – 2\end{array} \right. \Rightarrow f'(x) = {x^4} – 2{x^2} + 1\)
\( \Rightarrow f(x) = \frac{{{x^5}}}{5} – \frac{{2{x^3}}}{3} + x + c\).
Do \(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow c = 0 \Rightarrow f(x) = \frac{{{x^5}}}{5} – \frac{{2{x^3}}}{3} + x\).
Xét hàm số \(h\left( x \right) = \left| {f\left( {\cos x} \right) – \frac{1}{3}{{\cos }^3}x + {{\cos }^2}x} \right|\), ta đặt \(h\left( x \right) = f\left( {\cos x} \right) – \frac{1}{3}{\cos ^3}x + {\cos ^2}x\).
∙ Tìm số cực trị của hàm số \(y = h(x)\).
\(h'(x) = – \sin x.f'(\cos x) + {\cos ^2}x.\sin x – 2\sin x.\cos x\).
\(h'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\f'(\cos x) = {\cos ^2}x – 2\cos x\end{array} \right.\).
+) Với \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) nên phương trình \(\sin x = 0\) có 1 nghiệm đơn thuộc khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\)\(\left( 1 \right)\).
+) Với \(f'(\cos x) = {\cos ^2}x – 2\cos x\).
Đặt \(t = \cos x,t \in \left[ { – 1;1} \right) \Rightarrow f’\left( t \right) = {t^2} – 2t\)
\( \Leftrightarrow {t^2} – 2t = {t^4} – 2{t^2} + 1 \Leftrightarrow {t^4} – 3{t^2} + 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \alpha \,\,\,(\alpha \approx – 1,9403)\,\,\,(l)\\t = \beta \,\,(\beta \approx – 0,3365)\,\,(n)\end{array} \right.\).
Với \(t = \beta \in \left( {0;1} \right)\) thì \(\cos x = \beta \), khi đó \(f'(\cos x) = {\cos ^2}x – 2\cos x\) có 2 nghiệm đơn thuộc khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\)\(\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra hàm số \(y = h(x)\) có 3 cực trị trên khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\)(*).
∙ Tìm số nghiệm của phương trình \(h(x) = 0\).
\(t = \cos x \Rightarrow f(t) + \frac{1}{3}{t^3} – {t^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{5}{t^5} – \frac{2}{3}{t^3} + t + \frac{1}{3}{t^3} – {t^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\\frac{1}{5}{t^4} – \frac{1}{3}{t^2} – t + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = a\,\,\left( {a \approx 1,69} \right)(l)\\t = b\,\,\left( {b \approx 0,86} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos x = b\,\,\left( {b \approx 0,86} \right)\end{array} \right.\).
+ \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi + \frac{\pi }{2},\,k \in \mathbb{Z} \Rightarrow \) phương trình \(h(x) = 0\) có 2 nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\)\(\left( 3 \right)\).
+ \(\cos x = b\,\,\left( {b \approx 0,86} \right) \Rightarrow \) phương trình \(h(x) = 0\) có 2 nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\)\(\left( 4 \right)\).
Từ \(\left( 3 \right),\left( 4 \right)\), suy ra \(h(x) = 0\) có 4 nghiệm đơn trên khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\)(**).
Từ (*), (**) ta kết luận được hàm số \(y = g(x)\) đã cho có 7 điểm cực trị.
===========
Để lại một bình luận