ĐỀ BÀI:
3. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( { – 3} \right) = 0\) đồng thời có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Hàm số \(g\left( x \right) = \left| {2{{\left( {x + 1} \right)}^6} – 6{{\left( {x + 1} \right)}^2} – 3f\left( { – {x^4} – 4{x^3} – 4{x^2} – 2} \right)} \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. \(7\).
B. \(6\).
C. \(3\).
D. \(5\).
Lời giải
Đặt \(h\left( x \right) = 2{\left( {x + 1} \right)^6} – 6{\left( {x + 1} \right)^2} – 3f\left( { – {x^4} – 4{x^3} – 4{x^2} – 2} \right)\)
\( \Rightarrow h’\left( x \right) = 12{\left( {x + 1} \right)^5} – 12\left( {x + 1} \right) – 3\left( { – 4{x^3} – 12{x^2} – 8x} \right).f’\left( { – {x^4} – 4{x^3} – 4{x^2} – 2} \right)\)
\( = 12\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) + 12\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right).f’\left( { – {x^4} – 4{x^3} – 4{x^2} – 2} \right)\)
\( = 12(x + 1)\left( {{x^2} + 2x} \right)\left[ {{x^2} + 2x + 2 + f’\left( { – {x^4} – 4{x^3} – 4{x^2} – 2} \right)} \right]\)
Mà \( – {x^4} – 4{x^3} – 4{x^2} – 2 = – {\left[ {x\left( {x + 2} \right)} \right]^2} – 2 \le – 2\),\(\forall x \in \mathbb{R}\) nên dựa vào bảng xét dấu của \(f’\left( x \right)\) ta suy ra \(f’\left( { – {x^4} – 4{x^3} – 4{x^2} – 2} \right) \ge 0\).
\( \Rightarrow {x^2} + 2x + 2 + f’\left( { – {x^4} – 4{x^3} – 4{x^2} – 2} \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
Do đó dấu của \(h’\left( x \right)\) cùng dấu với \(u\left( x \right) = 12\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right)\), tức là đổi dấu khi đi qua các điểm \(x = – 2;\,x = – 1;\,x = 0\).
Vậy hàm số \(h\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị.
Ta có \(h\left( { – 1} \right) = – 3f\left( { – 3} \right) = 0\) nên đồ thị hàm số \(y = h\left( x \right)\) tiếp xúc \({\rm{Ox}}\)tại \(x = – 1\)và cắt trục \(Ox\)tại 2 điểm phân biệt.
Vậy \(g(x) = \left| {h(x)} \right|\) có 5 điểm cực trị.
===========
Để lại một bình luận