1 Cho \(x\,;\,y\) là các số nguyên thỏa mãn \(\left( {x – 1 – \sqrt {13 – x} } \right)\left( {{2^x} – y} \right) > 0\). Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) tồn tại và có không quá \(5\) giá trị nguyên \(x\).

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

1 Cho \(x\,;\,y\) là các số nguyên thỏa mãn \(\left( {x – 1 – \sqrt {13 – x} } \right)\left( {{2^x} – y} \right) > 0\). Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) tồn tại và có không quá \(5\) giá trị nguyên \(x\).

A. \(256\). 

B. \(8192\). 

C. \(7937\). 

D. \(7936\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Điều kiện: \(x \le 13\).

Ta có\(\left( {x – 1 – \sqrt {13 – x} } \right)\left( {{2^x} – y} \right) > 0\)\( \Leftrightarrow \left( {3 + \sqrt {13 – x} } \right)\left( {3 – \sqrt {13 – x} } \right)\left( {{2^x} – y} \right) > 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {x – 4} \right)\left( {{2^x} – y} \right)}}{{3 + \sqrt {13 – x} }} > 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x – 4} \right)\left( {{2^x} – y} \right) > 0\) 

Trường hợp 1: \(x > 4\).

Khi đótương đương với \({2^x} – y > 0\)\( \Leftrightarrow x > {\log _2}y\). Suy ra \(x \in \left( {4\,;\,13} \right] \cap \left( {{{\log }_2}y\,;\,13} \right]\).

Nên để tồn tại và có không quá 5 số nguyên \(x\) thì \(8 \le {\log _2}y < 13\)\( \Leftrightarrow {2^8} \le y < {2^{13}}\).

Tức là \(256 \le y < 8192\). Suy ra có \(8191 – 256 + 1 = 7936\) 

Trường hợp 2: \(x < 4\).

Khi đótương đương với \({2^x} – y < 0 \Leftrightarrow x < {\log _2}y\). Suy ra \(x \in \left( { – \infty ;4} \right) \cap \left( { – \infty ;{{\log }_2}y} \right)\). Điều này cho thấy có nhiều hơn 5 giá trị nguyên của \(x\). Do đó không tồn tại giá trị \(y\) nguyên dương thỏa mãn yêu cầu.

Trường hợp 3: \(x = 4\) thìviết lại \(0\left( {{2^4} – y} \right) < 0\). Rõ ràng không tồn tại \(y\) thỏa mãn.

Vậy số giá trị nguyên dương của \(y\) thỏa mãn yêu cầu đề bài là 7936.