DẠNG TOÁN 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + x + 2\,\,\,{\rm{khi }}x < 1\\x + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \ge 1\end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {3{{\sin }^2}x – 1} \right)} \sin 2x{\rm{d}}x\).
A.\(\frac{{21}}{4}\).
B. \(\frac{{13}}{2}\).
C. \(\frac{{20}}{3}\).
D. \(\frac{5}{6}\).
GY::
Xét \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {3{{\sin }^2}x – 1} \right)\sin 2x{\rm{d}}x} \)
Đặt \(3{\sin ^2}x – 1 = t \Rightarrow 3\sin 2x{\rm{d}}x = {\rm{d}}t \Rightarrow \sin 2x{\rm{d}}x = \frac{1}{3}{\rm{d}}t\)
Với \(x = 0\)\( \Rightarrow \)\(t = – 1\)
\(x = \frac{\pi }{2}\)\( \Rightarrow \)\(t = 2\)
\( \Rightarrow I = \frac{1}{3}\int\limits_{ – 1}^2 {f\left( t \right){\rm{d}}t} = \frac{1}{3}\int\limits_{ – 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{3}\int\limits_{ – 1}^1 {f(x){\rm{d}}x} + \frac{1}{3}\int\limits_1^2 {f(x){\rm{d}}x} \)
\( = \frac{1}{3}\int\limits_{ – 1}^1 {\left( {{x^3} + x + 2} \right){\rm{d}}x} + \frac{1}{3}\int\limits_1^2 {\left( {x + 3} \right){\rm{d}}x} = \frac{{21}}{4}.\)
Trả lời