Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho bốn đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ – 2}} = \frac{{z + 1}}{1},\)\({d_2}:\frac{x}{1} = \frac{y}{{ – 2}} = \frac{{z – 1}}{1},\,{d_3}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{1},\,{d_4}:\frac{x}{1} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z + 1}}{{ – 1}}\). Xét \(\Delta \) là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng đã cho. Khi đó vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \)?

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho bốn đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ – 2}} = \frac{{z + 1}}{1},\)\({d_2}:\frac{x}{1} = \frac{y}{{ – 2}} = \frac{{z – 1}}{1},\,{d_3}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{1},\,{d_4}:\frac{x}{1} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z + 1}}{{ – 1}}\). Xét \(\Delta \) là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng đã cho. Khi đó vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \)?

A. \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;\,1;\,1} \right)\).
B. \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;\,1;\,0} \right)\).
C. \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {1;\, – 1;\,0} \right)\).
D. \(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {1;\, – 1;\,1} \right)\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đường thằng \({d_1}\) đi qua điểm \(M\left( {3;\, – 1;\, – 1} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;\, – 2;\,1} \right)\).
Đường thằng \({d_2}\) đi qua điểm \(N\left( {0;\,0;\,1} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;\, – 2;\,1} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {MN} = \left( { – 3;\,1;\,2} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương; điểm \(M \notin {d_2}\) nên \({d_1}//{d_2}\).
Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).
\( \Rightarrow \) VTPT\(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\,\overrightarrow {MN} } \right] = \left( { – 5;\, – 5;\, – 5} \right)\); chọn VTPT\(\overrightarrow n = \left( {1;\,1;\,1} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(N\left( {0;\,0;\,1} \right)\) và VTPT \(\overrightarrow n = \left( {1;\,1;\,1} \right)\) có phương trình\(x + y + z – 1 = 0\).
Gọi \(A = {d_3} \cap \left( P \right)\). Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = – 1 + t\\z = 1 + t\\x + y + z – 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = – 1\\z = 1\\t = 0\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;\, – 1;\,1} \right)\).
Gọi \(B = {d_4} \cap \left( P \right)\). Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = t’\\y = – t’\\z = – 1 – t’\\x + y + z – 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – 2\\y = 2\\z = 1\\t’ = – 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { – 2;\,2;\,1} \right)\).
Do \(\Delta \) cắt cả \({d_1}\) và \({d_2}\) nên \(\Delta \) phải nằm trong mặt phẳng chứa \({d_1}\) và \({d_2}\). Do đó\(\Delta \) đi qua hai điểm \(A,\,B\) lần lượt là giao điểm của \((P)\)với \({d_3}\) và \({d_4}\).
Ta có:\(\overrightarrow {AB} = \left( { – 3;\,3;\,0} \right)\) suy ra một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là\(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {1;\, – 1;\,0} \right)\).