Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x – 5y + 2z + 8 = 0\) và đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 7 + 5t}\\{y = – 7 + t}\\{z = 6 – 5t}\end{array}} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Tìm phương trình đường thẳng \(\Delta \) đối xứng với đường thẳng \(d\) qua mặt phẳng \(\left( P \right).\)

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x – 5y + 2z + 8 = 0\) và đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 7 + 5t}\\{y = – 7 + t}\\{z = 6 – 5t}\end{array}} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Tìm phương trình đường thẳng \(\Delta \) đối xứng với đường thẳng \(d\) qua mặt phẳng \(\left( P \right).\)

A. \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = – 5 + 5t\\y = 13 + t\\z = – 2 – 5t\end{array} \right.\).
B. \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = – 17 + 5t\\y = 33 + t\\z = 66 – 5t\end{array} \right.\).
C. \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = – 11 + 5t\\y = 23 + t\\z = 32 – 5t\end{array} \right.\).
D. \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 13 + 5t\\y = – 17 + t\\z = – 104 – 5t\end{array} \right.\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Nhận xét: đường thẳng \(d\) song song với \(\left( P \right)\) với nên \(\Delta \) song song với \(d\)
Lấy \(M\left( {7;\, – 7;\,6} \right) \in d\). Gọi \(N\left( {x;y;z} \right)\) là điểm đối xứng của \(M\) qua mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(I\) là trung điểm \(MN\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} = k{{\vec n}_P}\\I \in \left( P \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x – 7;y + 7;z – 6} \right) = k\left( {3; – 5;2} \right)\\3x – 5y + 2z + 84 = 0\end{array} \right.\).
Giải hệ, ta có: \(k = – 4\)\( \Rightarrow M\left( { – 5;\,13;\, – 2} \right)\). Do đó: \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = – 5 + 5t\\y = 13 + t\\z = – 2 – 5t\end{array} \right.\).