Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 3\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \left| {z – 9} \right| + 3\left| {z + 1 – 6i} \right|\) bằng
A. \(3\sqrt {10} \).
B. \(6\sqrt {10} \).
C. \(3\sqrt {10} + 4.\)
D. \(6\sqrt {10} + 3.\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(M\) là điểm biểu diễn của số phức \(z\) trên mặt phẳng \(Oxy\) \( \Rightarrow M\) thuộc đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R = 3\).
Gọi \(A\left( {9;0} \right),\,\,B\left( { – 1;6} \right)\) \( \Rightarrow T = MA + 3MB\).
Lấy \(K\left( {1;0} \right) \Rightarrow OM = 3OK\).
Xét \(\Delta AOM\) và \(\Delta MOK\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {AOM\,}\,chung\\\frac{{OM}}{{OK}} = \frac{{OA}}{{OM}} = 3\end{array} \right.\,\,\)suy ra hai tam giác ta xét đồng dạng với nhau.
Suy ra \(AM = 3MK\).
Khi đó: \(T = MA + 3MB = 3MK + 3MB = 3\left( {MK + MB} \right) \ge 3BK = 6\sqrt {10} .\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M\) thuộc đoạn thẳng \(BK\)\( \Leftrightarrow M\left( {0;3} \right)\) hay \(z = 3i\).
Vậy \({\rm{Min}}T = 6\sqrt {10} \) khi \(z = 3i\).
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời