Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S):{x^2} + {(y – 2)^2} + {(z + 3)^2} = 24\) cắt mặt phẳng \((P):x + y = 0\) theo giao tuyến đường tròn \(\left( C \right)\). Tìm hoành độ của điểm M thuộc đường tròn (C) sao cho khoảng cách từ Mđến \(A\left( {6; – 10;3} \right)\) lớn nhất.

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S):{x^2} + {(y – 2)^2} + {(z + 3)^2} = 24\) cắt mặt phẳng \((P):x + y = 0\) theo giao tuyến đường tròn \(\left( C \right)\). Tìm hoành độ của điểm M thuộc đường tròn (C) sao cho khoảng cách từ Mđến \(A\left( {6; – 10;3} \right)\) lớn nhất.
A.\( – 4\)
B. -1
C. 2
D. -5
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Mặt cầu (S) có tâm \(I(0;2; – 3)\)
Gọi \(A’\) là hình chiếu của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\)
Ta có PTĐT \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6 + t\\y = – 10 + t\\z = 3\end{array} \right.\)
Ta có \(A’ = AA’ \cap (P)\)
\( \Rightarrow 6 + t – 10 + t = 0 \Rightarrow t = 2 \Rightarrow A’\left( {8; – 8;3} \right)\)
Gọi \(I’\) là hình chiếu của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) suy ra \(I’\) là tâm của đường tròn (C)
Làm tương tự như tìm \(A’\), ta được \(I’\left( { – 1;1; – 3} \right)\).
Ta có \(A{M^2} = A{A’^2} + A'{M^2}\) vì \(AA’\) không đổi nên \(AM\)lớn nhất khi \(A’M\) lớn nhất, từ đó suy ra \(A’,M,I’\) thẳng hàng và \(I’\) nằm giữa \(A’\) và \(M\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}II’ = \sqrt 2 ,{\rm{ }}A’I’ = 3\sqrt {22} ,{\rm{ }}R = \sqrt {22} \\ \Rightarrow A’M = 4\sqrt {22} \end{array}\)
Vậy \(\overrightarrow {A’M} = \frac{4}{3}\overrightarrow {A’I’} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} – {x_{A’}} = \frac{4}{3}\left( {{x_I} – {x_{A’}}} \right)\\{y_M} – {y_{A’}} = \frac{4}{3}\left( {{y_I} – {y_{A’}}} \right)\\{z_M} – {z_{A’}} = \frac{4}{3}\left( {{z_I} – {z_{A’}}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = – 4\\{y_M} = 4\\{z_M} = – 5\end{array} \right.\)
========

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)