Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình vuông; $SA\bot (ABCD)$.Qua $A$ dựng thiết diện vuông góc với $SC$ cắt $SC,SB,SD$ theo thứ tự tại $K,E,H$$a.$ Chứng minh $AE\bot SB,AH\bot SD$$b.$ Chứng minh tứ giác $AEKH$ nội tiếp được và có hai đường chéo vuông góc với nhau

Lời giải

$a.$ Ta có
$\left.\begin{matrix}SA\bot (ABCD) \\BC\bot AB \end{matrix}\right\} \Rightarrow  BC\bot SB$ (định lí $3$ đường vuông góc )
$\left.\begin{matrix} BC\bot SB\\BC\bot AB \end{matrix}\right\} \Rightarrow  BC\bot (SAB)$
Kết hợp với $AE\subset  (SAB)$
Suy ra $AE\bot BC$
$\left.\begin{matrix} SC\bot (AEKH)\\AE\subset  (AEKH) \end{matrix}\right\} \Rightarrow  AE\bot SC       (2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra $AE\bot (SBC)$
Kết hợp với $SC\subset  (SBC)$
Suy ra đpcm
Chứng minh tương tự, ta có $AH\bot SD$
$b.$ Theo chứng minh trên, ta có $AE\bot (SBC),EK\subset  (SBC)$
$\Rightarrow  AE\bot EK\Rightarrow  \widehat{AEK}=90^0,\widehat{AHK}=90^0  $
Tương tự ta có :
$\Rightarrow  $ tứ giác $AEKH$ có hai góc bù đối nhau
Hai tam giác $\Delta SAB=\Delta SAD\Rightarrow  SB=SD$ và $EB=HD$
Áp dụng định lí Talét trong mặt phẳng vào tam giác $SBD$ ta có $EH//BD       (3)$
Ta lại có $SA\bot (ABCD)\Rightarrow  SA\bot (BD)$
Ta lại có $AC\bot BD$
Suy ra $BD\bot (SAC)$
Từ $(3),(4)$ suy ra $EH\bot (SAC)$ mà $AK\subset  (SAC)$ nên $EH\bot AK$
$\Rightarrow  $ tứ giác $AEKH$ có hai đường chéo vuông góc với nhau
$c.$ Dễ thấy các tam giác $AEC,AKC,AHC$ vuông có chung cạnh huyền $AC$