Đề: Cho các số thực \(a,b,c \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{\left( {a – b} \right)\left( {b – c} \right)\left( {c – a} \right)}}{{abc}}.\)

Xét \(A = \frac{{\left| {\left( {a – b} \right)\left( {b – c} \right)\left( {c – a} \right)} \right|}}{{abc}}\,\).

Giả sử \(a \ge b \ge c\)suy ra:

\(A = \left| {\left( {1 – \frac{b}{a}} \right)\left( {1 – \frac{c}{b}} \right)\left( {1 – \frac{a}{c}} \right)} \right| \le \left| {\left( {1 – b} \right)\left( {1 – \frac{1}{{2b}}} \right)1} \right|\) (vì \(0 \le \left| {1 – \frac{a}{c}} \right| \le 1;\,\,\,1 \le \frac{a}{c} \le 2\))

Khi đó \(A \le \left| {\left( {\frac{3}{2} – b – \frac{1}{{2b}}} \right)} \right| \le \left| {\frac{3}{2} – 2\sqrt {\frac{1}{2}} } \right| = \frac{{3 – 2\sqrt 2 }}{2}.\)