Câu hỏi:
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = x4 – 2mx2 + m – 1 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều.
- A. m=3
- B. m=0
- C. m>0
- D. \(m = \sqrt[3]{3}\)
Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới.
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: D
Xét hàm số \(y = {x^4} – 2m{x^2} + m – 1\)
\(\begin{array}{l} y’ = 4{x^3} – 4mx = 4x({x^2} – m)\\ y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = m\,(*) \end{array} \right. \end{array}\)
Đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y’=0\) có ba nghiệm phân biệt.
Phương trình \(y’=0\) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
Điều này xảy ra khi m>0.
Khi m>0, ta có 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số:
\(A(0;m – 1),\,B( – \sqrt m ; – {m^2} + m – 1),\,C( – \sqrt m ; – {m^2} + m – 1)\)
Ta có tam giác ABC cân tại A.
Vậy ABC đều khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l} AB = BC \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt m } \right)}^2} + {m^4}} = 2\sqrt m \\ \Leftrightarrow m + {m^4} = 4m \Leftrightarrow m({m^3} – 3) = 0 \Rightarrow m = \sqrt[3]{3}\,(m > 0) \end{array}\)
======
Các bạn xem lại Lý thuyết cực trị hàm số.
Trả lời