Câu hỏi:
Tìm giá trị của m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + mx}}{{1 – x}}\) bằng 10.
- A. m=2
- B. m=1
- C. m=3
- D. m=4
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: D
Các điểm cực trị (nếu có) của đồ thị hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) sẽ nằm trên đồ thị hàm số \(y = \frac{{f'(x)}}{{g'(x)}}\).
\(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + mx}}{{1 – x}}\)
TXĐ: \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ 1 \right\}\).
Ta có \(f’\left( x \right) = \frac{{ – {x^2} + 2x + m}}{{{{\left( {1 – x} \right)}^2}}}\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ {x^2} – 2x – m = 0\,\,(*) \end{array} \right.\)
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 hay:
\(\left\{ \begin{array}{l} \Delta = 1 + m > 0\\ {1^2} – 2.1 – m \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m > – 1\)
Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
\(y = \frac{{\left( {{x^2} + mx} \right)’}}{{(1 – x)’}} = \frac{{2x + m}}{{ – 1}} = – 2x – m\)
Gọi \(A\left( {{x_1}; – 2{x_1} – m} \right);\,B\left( {{x_2}; – 2{x_2} – m} \right)\) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Theo định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2\\ {x_1}{x_2} = – m \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} AB = 10 \Rightarrow {\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} + {\left( {2{x_1} – 2{x_2}} \right)^2} = 100 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} = 20\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2} = 20 \Rightarrow {2^2} – 4( – m) = 20 \Leftrightarrow m = 4 \end{array}\)
======
Các bạn xem lại Lý thuyết cực trị hàm số.
Trả lời