9. Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc ba. Hàm số \(f’\left( x \right)\) có đồ thị như sau:

DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
9. Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc ba. Hàm số \(f’\left( x \right)\) có đồ thị như sau:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {{e^x} + 1} \right) – x – m = 0\) có hai nghiệm thực phân biệt.

A. \(m > f\left( 2 \right)\). B. \(m > f\left( 2 \right) – 1\). C. \(m < f\left( 1 \right) – \ln 2\). D. \(m > f\left( 1 \right) + \ln 2\).

Lời giải

Chọn A

Ta có: \(f\left( {{e^x} + 1} \right) – x – m = 0 \Leftrightarrow f\left( {{e^x} + 1} \right) – x = m\,\,\left( 1 \right)\).

Đặt \(t = {e^x} + 1 \Rightarrow t’ = {e^x} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\). Ta có bảng biến thiên:

Với \(t = {e^x} + 1 \Rightarrow x = \ln \left( {t – 1} \right)\). Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( t \right) – \ln \left( {t – 1} \right) = m\,\,\left( 2 \right)\).

Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm thực phân biệt lớn hơn 1.

Xét hàm số \(g\left( t \right) = f\left( t \right) – \ln \left( {t – 1} \right),\forall t > 1\) ta có:

\(g’\left( t \right) = f’\left( t \right) – \frac{1}{{t – 1}},\,\,g’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( t \right) = \frac{1}{{t – 1}}\).

Dựa vào đồ thị các hàm số \(y = f’\left( x \right)\) và \(y = \frac{1}{{x – 1}}\) ta có:  \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t – 1}} \Leftrightarrow t = 2\).

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(g\left( t \right)\):

Số nghiệm của phương trình \(\left( 2 \right)\) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(g\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = m\).

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm thực phân biệt lớn hơn 1

\( \Leftrightarrow m > g\left( 2 \right) \Leftrightarrow m > f\left( 2 \right) – \ln 1 \Leftrightarrow m > f\left( 2 \right)\).