85.  Cho hàm số \(f\left( x \right)\)nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;2} \right]\). Biết \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f\left( x \right)f\left( {2 – x} \right) = {{\rm{e}}^{2{x^2} – 4x}}\) với mọi \(x \in \left[ {0;2} \right]\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {\frac{{\left( {{x^3} – 3{x^2}} \right)f’\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x} \).

Câu hỏi:

85.  Cho hàm số \(f\left( x \right)\)nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;2} \right]\). Biết \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f\left( x \right)f\left( {2 – x} \right) = {{\rm{e}}^{2{x^2} – 4x}}\) với mọi \(x \in \left[ {0;2} \right]\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {\frac{{\left( {{x^3} – 3{x^2}} \right)f’\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x} \).

A. \(I =  – \frac{{14}}{3}\).

B. \(I =  – \frac{{32}}{5}\). C.\(I =  – \frac{{16}}{3}\).

D. \(I =  – \frac{{16}}{5}\).

Lời giải

Từ giả thiết \(f\left( x \right)f\left( {2 – x} \right) = {{\rm{e}}^{2{x^2} – 4x}}\), cho \(x = 2\), ta có \(f\left( 2 \right) = 1\).

Ta có \(I = \int\limits_0^2 {\frac{{\left( {{x^3} – 3{x^2}} \right)f’\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x} \). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^3} – 3{x^2}\\{\rm{d}}v = \frac{{f’\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \left( {3{x^2} – 6x} \right){\rm{d}}x\\v = \ln f\left( x \right)\end{array} \right.\). 

Khi đó, ta có

\(I = \left( {{x^3} – 3{x^2}} \right)\ln f\left( x \right)\left| {_0^2} \right. – \int\limits_0^2 {\left( {3{x^2} – 6x} \right)\ln f\left( x \right){\rm{d}}x}  =  – 3\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} – 2x} \right)\ln f\left( x \right){\rm{d}}} x =  – 3J\).

\(J = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} – 2x} \right)\ln f\left( x \right){\rm{d}}x} \mathop  = \limits^{x = 2 – t} \int\limits_2^0 {\left[ {{{\left( {2 – t} \right)}^2} – 2\left( {2 – t} \right)} \right]\ln f\left( {2 – t} \right){\rm{d}}\left( {2 – t} \right)} \)

Suy ra

\(2J = \int\limits_0^2 {\left[ {{x^2} – 2x} \right]\ln f\left( x \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_0^2 {\left[ {{x^2} – 2x} \right]\ln f\left( {2 – x} \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^2 {\left[ {{x^2} – 2x} \right]\ln f\left( x \right)f\left( {2 – x} \right){\rm{d}}x} \)

\( = \int\limits_0^2 {\left[ {{x^2} – 2x} \right]} \ln {{\rm{e}}^{2{x^2} – 4x}}{\rm{d}}x = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} – 2x} \right)\left( {2{x^2} – 4x} \right){\rm{d}}x}  = \frac{{32}}{{15}}\)

\( \Rightarrow J = \frac{{16}}{{15}}\).

Vậy \(I =  – 3J =  – \frac{{16}}{5}\).

====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Tích phân