Câu hỏi:
85. Cho hàm số \(f\left( x \right)\)nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;2} \right]\). Biết \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f\left( x \right)f\left( {2 – x} \right) = {{\rm{e}}^{2{x^2} – 4x}}\) với mọi \(x \in \left[ {0;2} \right]\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {\frac{{\left( {{x^3} – 3{x^2}} \right)f’\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x} \).
A. \(I = – \frac{{14}}{3}\).
B. \(I = – \frac{{32}}{5}\). C.\(I = – \frac{{16}}{3}\).
D. \(I = – \frac{{16}}{5}\).
Lời giải
Từ giả thiết \(f\left( x \right)f\left( {2 – x} \right) = {{\rm{e}}^{2{x^2} – 4x}}\), cho \(x = 2\), ta có \(f\left( 2 \right) = 1\).
Ta có \(I = \int\limits_0^2 {\frac{{\left( {{x^3} – 3{x^2}} \right)f’\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x} \). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^3} – 3{x^2}\\{\rm{d}}v = \frac{{f’\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \left( {3{x^2} – 6x} \right){\rm{d}}x\\v = \ln f\left( x \right)\end{array} \right.\).
Khi đó, ta có
\(I = \left( {{x^3} – 3{x^2}} \right)\ln f\left( x \right)\left| {_0^2} \right. – \int\limits_0^2 {\left( {3{x^2} – 6x} \right)\ln f\left( x \right){\rm{d}}x} = – 3\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} – 2x} \right)\ln f\left( x \right){\rm{d}}} x = – 3J\).
\(J = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} – 2x} \right)\ln f\left( x \right){\rm{d}}x} \mathop = \limits^{x = 2 – t} \int\limits_2^0 {\left[ {{{\left( {2 – t} \right)}^2} – 2\left( {2 – t} \right)} \right]\ln f\left( {2 – t} \right){\rm{d}}\left( {2 – t} \right)} \)
Suy ra
\(2J = \int\limits_0^2 {\left[ {{x^2} – 2x} \right]\ln f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^2 {\left[ {{x^2} – 2x} \right]\ln f\left( {2 – x} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {\left[ {{x^2} – 2x} \right]\ln f\left( x \right)f\left( {2 – x} \right){\rm{d}}x} \)
\( = \int\limits_0^2 {\left[ {{x^2} – 2x} \right]} \ln {{\rm{e}}^{2{x^2} – 4x}}{\rm{d}}x = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} – 2x} \right)\left( {2{x^2} – 4x} \right){\rm{d}}x} = \frac{{32}}{{15}}\)
\( \Rightarrow J = \frac{{16}}{{15}}\).
Vậy \(I = – 3J = – \frac{{16}}{5}\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Tích phân
Trả lời