8. Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{{\left( {{x^2} + 1} \right)}}.\ln \left( {{x^2} + 1} \right)\).

Câu hỏi:

8. Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{{\left( {{x^2} + 1} \right)}}.\ln \left( {{x^2} + 1} \right)\).

A. \(\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{4} + C\).

B. \(\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \frac{{{{\ln }^2}\left( {{x^2} + 1} \right)}}{4} + C\).

C. \(\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{2} + C\).

D. \(\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \frac{{{{\ln }^2}\left( {{x^2} + 1} \right)}}{2} + C\).

Lời giải

Ta có: \(I = \int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int {\frac{x}{{\left( {{x^2} + 1} \right)}}.\ln \left( {{x^2} + 1} \right).{\rm{d}}x} \).

Đặt \(\ln \left( {{x^2} + 1} \right) = t \Rightarrow \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)}}{\rm{d}}x = {\rm{d}}t \Rightarrow \frac{x}{{\left( {{x^2} + 1} \right)}}{\rm{d}}x = \frac{1}{2}{\rm{d}}t\).

Khi đó: \(I = \frac{1}{2}\int {t{\rm{dt}} = } \frac{1}{2}.\frac{{{t^2}}}{2} + C = \frac{{{t^2}}}{4} + C = \frac{{{{\ln }^2}\left( {{x^2} + 1} \right)}}{4} + C\).

====================
Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Tích phân