8. Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right) = 4\). Hàm \(f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ:

DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
8. Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right) = 4\). Hàm \(f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {x + 2} \right) – {{\sqrt 2 }^{x + 2}} – \frac{{10}}{3}} \right|\) có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. \(3\).

B. \(5\).

C. \(2\).

D. \(4\)

Lời giải

Từ đồ thị \(f’\left( x \right)\) ta có: \(f”\left( x \right) = m\left( {x – 1} \right)\left( {x – 3} \right) = m\left( {{x^2} – 4x + 3} \right) \Rightarrow f’\left( x \right) = m\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – 2{x^2} + 3x} \right) + C\).

Mặt khác: \(f’\left( 0 \right) =  – 2,f’\left( 1 \right) = 2 \Rightarrow C =  – 2,m = 3 \Rightarrow f’\left( x \right) = {x^3} – 6{x^2} + 9x – 2\).

\(f\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} – 2{x^3} + \frac{{9{x^2}}}{2} – 2x + {C_1}\), ta có \(f\left( 0 \right) = 4 \Rightarrow {C_1} = 4 \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} – 2{x^3} + \frac{{9{x^2}}}{2} – 2x + 4\). 

Đặt \(h\left( x \right) = f\left( {x + 2} \right) – {\sqrt 2 ^{x + 2}} – \frac{{10}}{3} \Rightarrow h’\left( x \right) = f’\left( {x + 2} \right) – {\sqrt 2 ^{x + 2}}.\ln \sqrt 2 \).

\(h’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( {x + 2} \right) = {\sqrt 2 ^{x + 2}}.\ln \sqrt 2 \) hay \(f’\left( t \right) = {\sqrt 2 ^t}.\ln \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = a;\left( {2 – \sqrt 3  < a < 1} \right)\\t = b;\left( {1 < b < 2} \right)\\t = c;\left( {2 + \sqrt 3  < c} \right)\end{array} \right.\).

(Các nghiệm trên ta chỉ ra được như vậy là do phương trình \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 – \sqrt 2 }\\{x = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = 2 + \sqrt 3 }\end{array}} \right.\) và tính tương giao của 2 đồ thị ở hình sau).

Do đó \(h’\left( x \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = a – 2\\{x_2} = b – 2\\{x_3} = c – 2\end{array} \right.\) . Có \(\left\{ \begin{array}{l}h\left( {{x_1}} \right) = f\left( a \right) – {\sqrt 2 ^a} – \frac{{10}}{3} < 0\\h\left( {{x_2}} \right) = f\left( b \right) – {\sqrt 2 ^b} – \frac{{10}}{3} > 0\\h\left( {{x_3}} \right) = f\left( c \right) – {\sqrt 2 ^c} – \frac{{10}}{3} < 0\end{array} \right.\). 

Ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số \(g\left( x \right)\) có \(4\) điểm cực tiểu